第七章 不等式 第一节 不等关系与不等式 [复习要点] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，理解不等式的实际背景． 2．理解不等式的性质，能运用不等式的性质，比较两数的大小． 知识点一 比较两个实数的大小 (1)作差法 (2)作商法 答案：(1)> ＝ < (2)> ＝ < 知识点二 不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b _____ 传递性 a>b，b>c _____ 可加性 a>b _____ 可乘性 _____ 注意c的符号 _____ 同向可加性 _____ 同向同正可乘性 _____ 可乘方性 a>b>0 _____(n∈N，n≥1) a，b同为正数 可开方性 a>b>0 >(n∈N，n≥2) 答案：b
c a＋c>b＋c ac>bc acb＋d ac>bd>0 an>bn ?链/接/教/材 1．[必修5·P74·例1]设a0，则下列不等式中不成立的是( ) A．> B．> C．|a|c>－bc D．> 答案：B 解析：由题设得a0，求证<1＋. 证明：∵x>0，>0， ∴＋x＋1>x＋1>0， ∴2>()2>0， ∴<1＋. ?易/错/问/题 不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性． (1)若a＞b，b≥c，则a与c的大小关系是_____． (2)若a＞b，则ac与bc的大小关系_____． (1)答案：a＞c 解析：由a＞b，b≥c，得a＞c. (2)答案：不确定 解析：若c＞0，则ac＞bc；若c＜0，则ac＜bc；若c＝0，则ac＝bc. ?通/性/通/法 1．比较两个数大小的方法：差值法；商值法． (1)若ab>0，且a>b，则与的大小关系是_____． (2)1618与1816的大小关系是_____. (1)答案：< 解析：∵a>b，∴b－a<0， 又ab>0，∴－＝<0，即<. (2)答案：1618＞1816 解析：＝＝16·162＝16·28＝8·28＝8＞1，故1618＞1816. 2．不等式性质的两个应用：确定取值范围；求最值. (1)若－<α<β<，则α－β的取值范围为_____． (2)若实数x，y满足3≤xy2≤8,4≤≤9，则的最大值是_____． (1)答案：(－π，0) 解析：因为－<α<，－<－β<， 所以－π<α－β<π. 又α<β，所以α－β<0， 所以－π<α－β<0. (2)答案：27 解析：由3≤xy2≤8,4≤≤9， 可知x>0，y>0，且≤≤，16≤≤81， 可得2≤≤27，故的最大值是27. 题型 不等式的性质 角度Ⅰ.不等关系的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．[多选]若a>1>b>0，－1b C．acb－c [答案] CD [解析] 由于 <，故A错误；特殊值法：可选取a＝，b＝，c＝－，符合大前提，则a＋cb≥2，则( ) A．b2<3b－a B．a3＋b3>a2b＋ab2 C．ab>a＋b D．＋>＋ [答案] BC [解析] 本题考查利用不等式的性质比较大小． A项，已知a>b≥2，不妨取a＝3，b＝2，则b2＝4,3b－a＝3，b2<3b－a不成立． B项，a3＋b3－(a2b＋ab2)＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)2(a＋b)>0，故B成立； C项，ab－a－b＝a(b－1)－b＝(b－1)＝(b－1)·>0，故C成立； D项，＋－－＝≥0， 故D不成立． 3．设a>b>0，m>0，n>0，则，，，由小到大的顺序是_____． [答案] <<< [解析] ∵－＝＝<0， ∴<<1. ∵－＝＝<0， ∴1<<. ∴<<<. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 不等式中有关倒数和分数的性质 1．有关倒数的性质 ①a>b，ab>0 <； ②a<0b>0,0； ④0b>0，m>0，则 ①真分数的性质：<；>(b－m>0)； ②假分数的性质：>；<(b－m>0)． 角度Ⅱ.待定系数法求代数式的范围 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4．[2021东北三省四市联考]已知角α，β满足－<α－β<，0<α＋β<π，求3α－β的取值范围． [解] 结合题意可知，3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)， 且2(α－β)∈( ... ... 
