2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三) 例6 如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m． （1）当t＝3时，求点C的坐标； （2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式； （3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． 解析：（1）过点C作CF⊥x轴于F 则△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，FB＝OA＝4 ∴点C的坐标为（－1，3） （2）当0＜t ≤4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1 易证△BOE∽△AOB，得 ＝ 即 ＝ ，∴m＝ t 2 当t ＞4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2 易证△EDA∽△AOB，得 ＝ 而DA＝AB，∴AB 2＝OB·EA 即4 2＋t 2＝t( m＋4)，∴m＝t＋ －4 （3）存在 当t ≤0时 ∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），∴此时不存在 当0＜t ≤4时 ①若点M在BC边上，有 ＝ 解得t＝2或t＝－4（舍去） ②若点M在CD边上，有 ＝ 解得t＝2或t＝4 当t ＞4时 ①若点M在CD边上，有 EQ \F( t＋ －4－2 , 4 ) ＝ 解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去） ②若点M在AD边上，有 EQ \F( 2－ , 4 ) ＝ 解得t＝12 综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12 例7 如图，点P是正方形ABCD边AB上一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由． （3）当 的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． 解析： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90° ∴∠ADP＋∠APD＝90° ∵∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB （2）不能 设AP＝x（0＜x ＜4） ∵∠A＝∠PBF＝90°，∠ADP＝∠FPB ∴△ADP∽△BPF，∴ ＝ ，∴ ＝ ∴BF＝－ x 2＋x＝－ ( x－2)2＋1 ∴当x＝2（即P为AB中点）时，BF有最大值1 ∴点F不能为边BC的中点 （3）假设△PFD∽△BFP，则 ＝ ∵△ADP∽△BPF，∴ ＝ ∴ ＝ ，∴PB＝AP ∴当 ＝ 时，△PFD∽△BFP 例8 如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）． （1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长； （2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长； （3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由． 解析：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG ∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90° ∴∠DAG＝∠BAE＝90°－∠EAD ∴△DAG≌△BAE，∴∠DGA＝∠BEA＝120° 过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图2 则∠AGH＝60°，∴∠GAH＝30° ∴GH＝ AG＝1，AH＝ EQ \F(, 2 )AG＝ 在Rt△ADH中，AH 2＋DH 2＝AD 2 ∴( )2＋( DG＋1)2＝4 2 解得DG＝－1（舍去负值） （2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE 如图3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90° 连接BD，则△BPD是以BD为斜边的直角三角形 设BD的中点为O，连接OP，则OP＝ BD＝ EQ \F(, 2 )AB＝2 ∴旋转过程中，点P运动的路线是以O为圆心，以OP为半径的一段圆弧 如图4，当边AE在边AB上时，P与A重合 当∠BAE＝60°时，设AB的中点为M，连接ME 则AE＝AM＝BM＝ AB，∴△AEM是等边三角形 ∴∠EMA＝60°，∴∠MBE＝∠MEB＝30° ∴∠BEA＝90°，∴B、E、F三点共线 ∴P与F重合 连接AF，易知△OFA是等边三角形，∠AOF＝60° ∴点P运动的路线长为：2× π＝ EQ \F(2, 3 ) π （3）假设 ... ...