数列求和(2)错位相减 学案（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 数列求和(2)错位相减 例题1．（2022·江西·二模（理））已知正项数列的前n项和为，，且. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)令m=n=1，得，又， 解得：或（负值舍去）， 令m=1，得，所以， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以.(2)由（1）可得，， 所以， 所以， 两式相减得， ，所以. 例题2．（2022·广东·华南师大附中三模）已知等差数列中，，，且. (1)求数列的通项公式及前2n项和； (2)若，记数列的前n项和为，求. 【答案】(1)，数列的前2n项和为(2) 【解析】(1)设等差数列的公差为d，则， 所以，从而． . (2)∵， ∴， ， 相减得，， ，即. 例题3．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知数列的前n项和满足．数列满足，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析 【解析】(1)当时，；当时，， 所以，整理得． 所以，又，故． 所以，即为等比数列．所以 (2)由题意得，所以与同号， 又因为，所以，即，即． 所以数列为递增数列，所以， 即，累加得． 令，，所以， 两式相减得：， 所以，所以，所以． 例题4．（2022·山东烟台·三模）已知数列的前项和为，，当时，. (1)求；(2)设数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)当时，， 所以，， 整理得：，即. 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以，即. (2)由（1）知，， 所以，① 所以，② ①-②得，， 所以，， 所以，， 所以，即，即， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以. 练习 1．（2022·河南许昌·三模）已知等差数列的前n项和为，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1)，(2) 【解析】(1)设等差数列的公差为，，解得，所以；又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即．(2)因为， 所以，① ②. ①－②得， ，. 2．（2022·湖南·模拟预测）设数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式；(2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)，① 当时，，② ①-②得，∴，∴， ∵，∴，∴也满足上式， ∴为等比数列且首项为2，公比为3，∴. 即的通项公式为. (2)由（1）知，所以， 令，① 得，② ①-②得， 所以. 3．（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知公差不为0的等差数列中，且成等比数列. (1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和为. 【答案】(1)(2) 【解析】(1)设等差数列的公差为，由题意可知. 即，又，得， 因为，所以，. 故通项公式. (2)， ， ， ， 所以. 4．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）已知公差不为零的等差数列满足成等比数列．数列的前n项和为，且满足 (1)求和的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由题：， ∵，即 得：，即当时，， 当时，，，两式相减整理得， 即数列是以首项，公比的等比数列 ∴ (2)当n为奇数时， 当n为偶数时， ， 两式相减得： 得： 5．（2022·河北邯郸·二模）已知等比数列{}的公比，且，． (1)求数列{}的通项公式； (2)设数列{}的前n项和为，求数列{}的前n项和． 【答案】(1)；(2). 【解析】(1)由，或（舍去）， 所以； (2)由（1）可知，所以， 所以，设数列{}的前n项和为， ， ， ，得， 即. 6．（2022·江苏泰州·模拟预测）已知数列，的前n项和分别为，，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求证：当时，． 【答案】(1)(2)证明见解析 【解析】(1)因为，所以，则， 当时，， 所以，化简得， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，因此 (2)，， 则， 所以， 两式相减得， 即， 故. 所以当时，， 所以． 7．（2022·江西·二模）已知正项数列的前n项和为，，且． (1)求的 ... ...