专项训练 巧构直角三角形妙解实际问题（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台 专项训练 巧构直角三角形妙解实际问题 类型一 作高———构造直角三角形 1.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为 建筑物底端B的俯角为45°,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡AD的坡度 根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为 ( ) A.136.6米 B.86.7米 C.186.7米 D.86.6米 2.如图，某河两侧的道路平行，为测量该河的宽度，实验学校数学实践活动小组的同学们从河一侧道路的A，B两处分别测得∠CAB=105°,∠CBA=30°,AB=60米,已知点C是该河另一侧道路的一个标志点，则该河的宽度约为多少米 结果保留整数) 3.如图，著名旅游景区B位于大山深处，原来到此旅游需要绕行C地，沿折线A→C→B方可到达.当地政府为了增强景区的吸引力，发展壮大旅游经济，修建了一条从A地到景区B的笔直公路.请结合∠A=45°，∠B=30°,BC=100千米, 数据信息解答：公路修建后，从A地到景区B旅游可以少走多少千米 类型二 作垂线段———构造直角三角形 4.如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度(或坡比),山坡坡底C点到坡顶D点的距离 ，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为(参考数据：( ) 5.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场B，C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的B处遥控无人机，无人机在A处距离地面的飞行高度是41.6m，此时从无人机测得广场C处的俯角为 他抬头仰视无人机时,仰角为α,若小星的身高(点A,E,B,C在同一平面内). (1)求仰角α的正弦值； (2)求B，C两点之间的距离(结果精确到). 6.如图，A，B是海面上位于东西方向的两个观测点，有一艘海轮在C点处遇险发出求救信号，此时测得C点位于观测点A的北偏东45°方向上，同时位于观测点B的北偏西60°方向上，且测得C点与观测点A的距离为25海里. (1)求观测点B与C点之间的距离； (2)有一艘救援船位于观测点B的正南方向且与观测点B相距30海里的D点处，在接到 海轮的求救信号后立即前往营救，其航行速度为42海里/小时，求救援船到达C点需要 的最少时间. 7.如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸， ∥综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度(EF与MN之间的距离)，已知河对岸EF上有建筑物C、D,且 米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物位于A北偏东 方向，再沿河岸走20米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据 所测数据求出该段河的宽度.(用非特殊角的三角函数或根式表示即可) 参考答案 1.A 如图,作DH⊥AB于H,延长DE交BC于F. 在 中, 米,设米, 则 米，根据勾股定理得 即 解得米. ∵四边形DHBF是矩形, 米. 在 中, 米. 在Rt△EFC中, (米). 米.故选A. 2.解析 过A点作 于H，过B点作BD垂直于过C点的该河另一侧的道路，垂足为D，如图. ∥∴ 在 中, 米, 米,(米). ∵∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-105°-30°=45°,∴CH=AH=30米.∴BC=BH+CH=(30+30)米. 在Rt△BCD中,∵∠BCD=30°,∴BDBC= (米). 答：该河的宽度约为41米. 3.解析 如图,过点C作CD⊥AB,垂足为D. 在Rt△BCD中,CD=BC·sinB=BC·50(千米),(千米). 在Rt△ACD中,∠A=45°,∴AD=CD=50(千米),(千米). 千米. (千米). 答：从A地到景区B旅游可以少走35千米. 4.B 如图,过点D作DF⊥AB于F,过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E. 在Rt△DEC中, ,∴设,则, 由勾股定理可得 在Rt△ADF中,AF=DF·tan∠ADF=87×tan28°≈87×0.53=46.11 m. ∴AB=AF+FB=46.11+36≈82.1m.故选B. 5.解 ... ...