2013中考全国100份试卷分类汇编：代数几何综合

2013中考全国120份试卷分类汇编 代数几何综合 1、（2013年潍坊市压轴题）如图，抛物线关于直线对称，与坐标轴交于三点，且,点在抛物线上，直线是一次函数的图象，点是坐标原点. （1）求抛物线的解析式； （2）若直线平分四边形的面积，求的值. （3）把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线与直线交于两点，问在轴正半轴上是否存在一定点，使得不论取何值，直线与总是关于轴对称？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 答案：（1）因为抛物线关于直线x=1对称，AB=4，所以A(-1，0),B(3，0), 由点D(2，1.5)在抛物线上，所以，所以3a+3b=1.5,即a+b=0.5, 又，即b=-2a,代入上式解得a=-0.5,b=1,从而c=1.5,所以. （2）由（1）知，令x=0,得c(0,1.5),所以CD//AB, 令kx-2=1.5,得l与CD的交点F()， 令kx-2=0，得l与x轴的交点E()， 根据S四边形OEFC=S四边形EBDF得：OE+CF=DF+BE, 即： （3）由（1）知 所以把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为 假设在y轴上存在一点P(0，t)，t＞0，使直线PM与PN关于y轴对称，过点M、N分别向y轴作垂线MM1、NN1，垂足分别为M1、N1，因为∠MPO=∠NPO,所以Rt△MPM1∽Rt△NPN1, 所以,………………(1) 不妨设M(xM,yM)在点N(xN,yN)的左侧，因为P点在y轴正半轴上， 则（1）式变为,又yM =k xM-2, yN=k xN-2, 所以（t+2）(xM +xN)=2k xM xN,……(2) 把y=kx-2(k≠0)代入中，整理得x2+2kx-4=0, 所以xM +xN=-2k, xM xN=-4,代入（2）得t=2,符合条件， 故在y轴上存在一点P（0,2），使直线PM与PN总是关于y轴对称. 考点：本题是一道与二次函数相关的压轴题，综合考查了考查了二次函数解析式的确定，函数图象交点及图形面积的求法，三角形的相似，函数图象的平移，一元二次方程的解法等知识，难度较大. 点评：本题是一道集一元二次方程、二次函数解析式的求法、相似三角形的条件与性质以及质点运动问题、分类讨论思想于一体的综合题，能够较好地考查了同学们灵活应用所学知识，解决实际问题的能力。问题设计富有梯度、由易到难层层推进，既考查了知识掌握，也考查了方法的灵活应用和数学思想的形成。 2、（绵阳市2013年）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点C的坐标为（0，-2），交x轴于A、B两点，其中A（-1，0），直线l：x=m（m＞1）与x轴交于D。 （1）求二次函数的解析式和B的坐标； （2）在直线l上找点P（P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求点P的坐标（用含m的代数式表示）； （3）在（2）成立的条件下，在抛物线上是否存在第一象限内的点Q，使△BPQ是以P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由。 解：（1）①二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点C的坐标为（0，-2），c = -2 , - , b=0 , 点A(-1,0)、点B是二次函数y=ax2-2 的图象与x轴的交点，a-2=0,a=2. 二次函数的解析式为y=2x2-2； ②点B与点A(-1,0)关于直线x=0对称，点B的坐标为（1，0）； （2）∠BOC=∠PDB=90 ，点P在直线x=m上， 设点P的坐标为（m,p）, OB=1， OC=2， DB= m-1 , DP=|p| ， ①当△BOC∽△PDB时，,,p= 或p = , 点P的坐标为（m，）或（m，）； ②当△BOC∽△BDP时， ，，p=2m-2或p=2-2m, 点P的坐标为（m，2m-2）或（m，2-2m）； 综上所述点P的坐标为（m，）、（m，）、（m，2m-2）或（m，2-2m）； （3）不存在满足条件的点Q。 点Q在第一象限内的抛物线y=2x2-2上， 令点Q的坐标为（x, 2x2-2），x>1, 过点Q作QE⊥直线l , 垂足为E，△BPQ为等腰直角三角形，PB=PQ，∠PEQ=∠PDB， ∠EPQ=∠DBP，△PEQ≌△BDP，QE=PD，PE=BD， 当P的坐标为（m，）时， m-x = ， m=0 m=1 2x2-2- = m-1, x= x=1 与x>1矛盾,此时点Q不满足题设 ... ...