中小学教育资源及组卷应用平台 第一讲 方程的根与函数的零点 【学习目标】 1.理解函数零点的定义，会求某些函数的零点(重点). 2.掌握函数零点的判定方法(重、难点). 3.了解函数的零点与方程的根的联系(重点)． 知识点1 函数的零点 (1)概念：函数f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x. (2)函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系： 知识点2 函数零点的判断 (1)条件：①函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0. (2)结论：函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．21教育网 题型一 函数零点的概念及求法 【例1】 (1)函数y＝1＋的零点是( ) A．(－1,0) B．x＝－1 C．x＝1 D．x＝0 (2)设函数f(x)＝21－x－4，g(x)＝1－log2(x＋3)，则函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为_____． (3)若3是函数f(x)＝x2－mx的一个零点，则m＝_____. 解析 (1)令1＋＝0， 解得x＝－1，故选B． (2)令f(x)＝21－x－4＝0解 得x＝－1，即f(x)的零点为－1，令g(x)＝1－log2(x＋3)＝0，解得x＝－1，所以函数f(x)的零点与g(x)的零点之和为－2.【来源：21·世纪·教育·网】 (3)由f(3)＝32－3m＝0解得m＝3. 答案 (1)B (2)－2 (3)3 规律方法 函数零点的两种求法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根，若存在实数根，则函数存在零点，否则函数不存在零点． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点． 【训练1】 函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是_____． 解析 ∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是 2，∴2a＋b＝0 b＝－2a，∴g(x)＝bx2－ax＝－2ax2－ax＝－ax(2x＋1)，∵－ax(2x＋1)＝0 x＝0，x＝－，∴函数g(x)＝bx2－ax的零点是0，－. 答案 0，－ 题型二 确定函数零点的个数 【例2】 判断下列函数零点的个数． (1)f(x)＝x2－x＋； (2)f(x)＝ln x＋x2－3. 解 (1)由f(x)＝0，即x2－x＋＝0，得Δ＝2－4×＝－<0， 所以方程x2－x＋＝0没有实数根，即f(x)零点的个数为0. (2)法一 函数对应的方程为ln x＋x2－3＝0，所以原函数零点的个数即为函数y＝ln x与y＝3－x2的图象交点个数．21世纪教育网版权所有 在同一直角坐标系下，作出两函数的图象(如图)． 由图象知，函数y＝3－x2与y＝ln x的图象只有一个交点．从而方程ln x＋x2－3＝0有一个根， 即函数y＝ln x＋x2－3有一个零点． 法二 由于f(1)＝ln 1＋12－3＝－2<0， f(2)＝ln 2＋22－3＝ln 2＋1>0， 所以f(1)·f(2)<0， 又f(x)＝ln x＋x2－3的图象在(1,2)上是不间断的， 所以f(x)在(1,2)上必有零点， 又f(x)在(0，＋∞)上是递增的，所以零点只有一个． 规律方法 判断函数零点个数的四种常用方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个不同的实数根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判定它与x轴的交点个数，从而判定零点的个数． (3)结合单调性，利用零点存在性定理，可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． (4)转化成两个函数图象的交点问题． 【训练2】 函数f(x)＝ln x－的零点的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析 如图画出y＝ln x与y＝的图象，由图知y＝ln x与y＝(x>0，且x≠1)的图象有两个交点．故函数f(x)＝ln x－的零点有2个．21cnjy.com 答案 C 题型三 判断函数零点所在的区间 【例3】 (1)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 m －4 －6 －6 －4 n 6 不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在区间是( ) A．(－3，－1)和(2,4) B．(－3，－1)和(－1,1) C．(－1,1)和(1,2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞) (2)已知函数f(x)＝ ... ...
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