中小学教育资源及组卷应用平台 第四讲 函数模型的应用实例 【学习目标】 1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点). 2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)． 知识点1 常见的函数模型 常用函数模型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)指数函数模型 y＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) (4)对数函数模型 y＝mlogax＋n(m，a，n为常数，m≠0，a>0且a≠1) (5)幂函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (6)分段函数 y＝ 知识点2 解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原． 这些步骤用框图表示如图： 题型一 一次函数、二次函数模型 【例1】 商场销售某一品牌的羊毛衫， 出卷网购买人数是羊毛衫标价的一次函数，标价越高，购买人数越少．把购买人数为零时的最低标价称为无效价格，已知无效价格为每件300元．现在这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的价格(标价)出售．问：21教育网 (1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？ (2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？21cnjy.com 解 (1)设购买人数为n人，羊毛衫的标价为每件x元，利润为y元， 则x∈(100,300]，n＝kx＋b(k<0)，∵0＝300k＋b，即b＝－300k，∴n＝k(x－300)． ∴利润y＝(x－100)k(x－300)＝k(x－200)2－10 000k(x∈(100,300])【来源：21cnj*y.co*m】 ∵k<0，∴x＝200时，ymax＝－10 000k， 即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，k(x－100)(x－300)＝－10 000k·75%， x2－400x＋37 500＝0，解得x＝250或x＝150， 所以，商场要获取最大利润的75%，每件标价为250元或150元． 规律方法 利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型 出卷网解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法利用函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．【出处：21教育名师】 (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符． 【训练1】 某水厂的蓄水池中有400吨 出卷网水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少． 解 设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24)． 设u＝，则u∈[0,2]，y＝60u2－100u＋400＝602＋150， ∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少． 题型二 指数型函数、对数型函数模型 【例2】 大西洋鲑鱼每年都 出卷网要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．21教育名师原创作品 (1)当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是多少？ (2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍． 解 (1)由v＝log3可知， 当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)． 所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s. (2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍． 规律方法 指数型、对数型函数问题的类型及解法 (1)指数型函数模型：y＝max(a>0 出卷网且a≠1，m≠0)，在实际问题中，有关人口增长，银行利率，细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示．2-1-c-n-j-y (2)对数型函数模型：y＝mlogax＋c(m≠0，a>0且a≠1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解．21*cnjy*com (3)指数型、对数型函数应用题的解题思路 出卷网：① ... ...
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