D单元 数列 D1 数列的概念与简单表示法 图1－3 14．D1[2013·安徽卷] 如图1－3所示，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等，设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是_____． 14．an＝ [解析] 令S△OA1B1＝m(m>0)，因为所有AnBn相互平行且a1＝1，a2＝2，所以S梯形A1B1B2A2＝3m，当n≥2时，＝＝＝， 故a＝a， a＝a， a＝a， …… a＝a 以上各式累乘可得a＝(3n－2)a，因为a1＝1， 所以an＝. 4．D1[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d>0的等差数列的四个命题： p1：数列是递增数列； p2：数列是递增数列； p3：数列是递增数列； p4：数列是递增数列． 其中的真命题为( ) A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4 4．D [解析] 因为数列{an}中d>0，所以{an}是递增数列，则p1为真命题．而数列{an＋3nd}也是递增数列，所以p4为真命题，故选D. 17．D1、D2[2013·全国卷] 等差数列{an}前n项和为Sn.已知S3＝a，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项公式． 17．解：设{an}的公差为d. 由S3＝a，得3a2＝a，故a2＝0或a2＝3. 由S1，S2，S4成等比数列得S＝S1S4. 又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d， 故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)． 若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0， 此时Sn＝0，不合题意； 若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d＝0或d＝2. 因此{an}的通项公式为an＝3或an＝2n－1. D2 等差数列及等有效期数列前n项和 8．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( ) 图1－3 A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π 8．A [解析] 由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V＝2×2×4＋×π×22×4＝16＋8π. 7．D2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( ) A．3 B．4 C．5 D．6 7．C [解析] 设首项为a1，公差为d，由题意可知am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，故d＝1.又Sm＝＝0，故a1＝－am＝－2， 又Sm＝ma1＋d＝0，∴－2m＋＝0?m＝5. 12．D2[2013·广东卷] 在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝_____． 12．20 [解析] 方法一：a3＋a8＝2a1＋9d＝10，而3a5＋a7＝3(a1＋4d)＋a1＋6d＝2(2a1＋9d)＝20. 方法二：3a5＋a7＝2a5＋(a5＋a7)＝2a5＋2a6＝2(a5＋a6)＝2(a3＋a8)＝20. 20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an＋1，an＋2，…的最小值记为Bn，dn＝An－Bn. (1)若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，an＋4＝an)，写出d1，d2，d3，d4的值； (2)设d是非负整数，证明：dn＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列； (3)证明：若a1＝2，dn＝1(n＝1，2，3，…)，则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1. 20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3. (2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤an≤…. 因此An＝an，Bn＝an＋1，dn＝an－an＋1＝－d(n＝1，2，3，…)． (必要性)因为dn＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以An＝Bn＋dn≤Bn. 又因为an≤An，an＋1≥Bn， 所以an≤an＋1. 于是，An＝an，Bn＝an＋1. 因此an＋1－an＝Bn－An＝－dn＝d， 即{an}是公差为d的等差数列． (3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1. 故对任意n≥1，an≥B1＝1. 假设{an}(n≥2)中存在大于2的项． 设m为满足am>2的最小正整数， 则m≥2， ... ...
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