中小学教育资源及组卷应用平台 第七讲 正切函数的性质与图象 学习目标 1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期. 2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性. 3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法． 知识点一 正切函数的性质 思考1 正切函数的定义域是什么？ 答案 . 思考2 诱导公式tan(π＋x)＝tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答案 周期性． 思考3 诱导公式tan(－x)＝－tan x，x∈R且x≠＋kπ，k∈Z说明了正切函数的什么性质？ 答案 奇偶性． 思考4 从正切线上看，在上正切函数值是增大的吗？ 答案 是． 梳理 函数y＝tan x的图象与性质见下表： 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇 单调性 在开区间(k∈Z)内都是增函数 知识点二 正切函数的图象 思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？ 答案 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象． (5)根据正切函数的周期性，把上述图象 向左、右扩展，就可以得到正切函数y＝tan x，x∈R且x≠＋kπ(k∈Z)的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．21教育网 思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y＝tan x，x∈的简图吗？怎样画？21世纪教育网版权所有 答案 能，三个关键点：，(0,0)，，两条平行线：x＝，x＝－. 梳理 (1)正切函数的图象 (2)正切函数的图象特征 正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的． 1．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．( × ) 提示 y＝tan x在开区间(k∈Z)上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y＝tan x的图象的对称中心是(kπ，0)(k∈Z)．( × ) 提示 y＝tan x图象的对称中心是(k∈Z)． 3．正切函数y＝tan x无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间上单调递增．( × ) 提示 正切函数在区间上是增函数，不能写成闭区间，当x＝±时，y＝tan x无意义. 类型一 正切函数的定义域、值域问题 例1 (1)函数y＝3tan的定义域为_____． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 答案 解析 由－≠＋kπ，k∈Z，得x≠－－4kπ，k∈Z， 即函数的定义域为. (2)求函数y＝tan2＋tan＋1的定义域和值域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的值域 解 由3x＋≠kπ＋，k∈Z， 得x≠＋，k∈Z， 所以函数的定义域为. 设t＝tan， 则t∈R，y＝t2＋t＋1＝2＋≥， 所以原函数的值域是. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．21cnjy.com (2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解． 跟踪训练1 求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域． 考点 正切函数的定义域、值域 题点 正切函数的定义域 解 由题意得即－1≤tan x<1. 在内，满足上述不等式的x的取值范围是. 又y＝tan x的周期为π， 所以函数的定义域是(k∈Z)． 类型二 正切函数的单调性问题 命题角度1 求正切函数的单调区间 例2 求函数y＝tan的单调区间及最小正周期． 考点 正切函数的单调性 题点 判断正切函数的单调性 解 y＝tan＝－tan， 由kπ－
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