北京市东城区（南片）2012－2013学年下学期高一期末考试 数学试卷 一、选择题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 直线l经过原点和点(－，1)，则它的斜率为 A. － B. C. D. 2. 不等式2x－x－1>0的解集是 A. (，1) B. (1，+∞) C. (－∞，1)∪(2，+∞) D. (－∞，)∪(1，+∞) 3. 在ΔABC中，已知D是AB边上一点，，则实数λ= A. － B. － C. D. 4. 已知点A(1，1，1)，点B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为 A. 4 B. 2 C. 4 D. 3 5. A. － B. － C. D. 6. 直线l：y=kx－3k与圆C：x+y－4x=0的位置关系是 A. l与C相交 B. l与C相切 C. l与C相离 D. 以上三个选项均有可能 7. 已知等比数列{a}的公比为正数，且a·a=2a，a=1，则a= A. B. C. D. 2 8. 设，则sin2θ= A. － B. － C. D. 9. 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则 A. 8 B. 4 C. 2 D. 1 10. 设a，b为正实数，下列结论正确的是 ①若a－b=1，则a－b<1； ②若，则a－b<1； ③若，则|a－b|<1； ④若|a－b|=1，则|a－b|<1. A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①④ 二、填空题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 过点(－3，－1)，且与直线x－2y=0平行的直线方程为_____． 12. 若x>0，则函数的最小值是_____． 13. 已知{a}为等差数列，S为其前n项和，若a=，a+a+a，则S=_____． 14. 过点(－1，6)与圆x+y+6x－4y+9=0相切的直线方程是_____． 15. 等比数列｛a}中，a+a=5，a+a=4，则a+a=_____． 16. 已知△ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则△ABC的面积为_____． 三、解答题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17. (本小题共9分) 已知向量a=(1，2)，b=(－2，m)，m∈R． (Ⅰ)若a∥b，求m的值； (Ⅱ)若a⊥b，求m的值． 18. (本小题共9分) 某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克．求该公司从每天生产的甲、乙两种产品中，可获得的最大利润． 19. (本小题共9分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足． (Ⅰ)求角C的大小； (Ⅱ)求的最大值，并求取得最大值时角A的大小． 20. (本小题共9分) 已知O为平面直角坐标系的原点，过点M(－2，0)的直线l与圆x+y=1交于P、Q两点，且 (Ⅰ)求∠PDQ的大小； (Ⅱ)求直线l的方程． 21. (本小题共8分) 已知数列{a}的前n项和为S，且S=－n+20n，n∈N． (Ⅰ)求通项a； (Ⅱ)设{b－a}是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b}的通项公式及其前n项和T． 22. (本小题共8分) 在平面直角坐标系xOy中，曲线y=x－6x+1与坐标轴的交点都在圆C上． (Ⅰ)求圆C的方程； (Ⅱ)试判断是否存在斜率为1的直线，使其与圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，若存在，求出该直线方程，若不存在，请说明理由． 参考答案及评分标准 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. A 7. B 8. A 9. C 10. D 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分. 11. x－2y+1=0 12. 2 13. 14. 3x－4y+27=0或x=－1. 15. 16. 三、解答题：本大题共6小题，共52分. 17. (共9分) 解(Ⅰ)因为a∥b， 所以1·m－2(－2)=0，m=－4. ……………………………5分 (Ⅱ)因为a⊥b，所以a·b=0， 所以1·(－2)+2m=0，m=1. …………………………………9分 18. (共9分) 解：设公司每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，公司共可获得利润为z元/天，则 由已知，得z=300x+400y． 且 画可行域如图所示， 目标函数z=300x+400y可变形为 解方程组 得，即A(4，4). 所以，Z=1200+1600=28 ... ...
