(
课件网) 1.3.1函数的单调性与导数 新课标·人教版 选修2-2 第一章 《导数及其应用》 1、了解导数与函数单调性的关系. 2、掌握利用导数判断函数单调性的方法.(重点) 3、会根据导数画出函数的大致图象. 4、正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.（难点） 函数y=f(x)在给定区间G上，当x1、x2∈G且x1＜x2时， (1)都有f(x1)＜f(x2)， (2)都有f(x1)＞f(x2)， 则f(x)在G上是减函数； 一、复习引入 1、函数单调性判定（定义法） 则f(x)在G上是增函数； 则f(x)在G上是减函数； 则f(x)在G上是增函数； 2、判断函数单调性的方法有哪些？ 定义法、图像法 (2)作差(1)－(2) (作商) 3、怎样用定义判断函数的单调性？ (1)任取1、2∈D，且1< 2. (4)定号(判断差(1)－(2)的正负)(与０比较) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式) (5)结论 图象从左往右上升增函数 图象从左往右下降减函数 4、怎样用定义判断函数的单调性？ 若f(x)在G上是增函数或减函数，则f(x)在G上具有严格的单调性。G称为单调区间. 如何确定函数的单调性呢？ 用单调性定义或图象显然不好确定其单调性。 于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？下面我们就研究单调性与导数有什么关系 二、新课引入 a a b b t t v h O O (1) (2) 观察1、左图表示高台跳水运动员的高度h随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10图象. 右图表示函数瞬时速度v随时间变化的函数v(t)=h'(t)=-9.8t+6.5的图象. 单调递增 > 单调递减 < = 三、新课讲授 x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 观察2、 观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 函数单调性与其导函数的正负关系 单调性 导数的正负 函数及图象 切线斜率k的正负 在R上单增 正 正 负 正 负 单调递增 单调递减 归纳： x y O x0 函数单调递增 函数单调递减 f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)>0 f (x)<0 f (x)<0 f (x)<0 f (x)<0 f (x)>0 f (x)<0 观察3、 函数单调性的判定定理： 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间（a , b）内 如果f (x) > 0，则函数在这个区间内单调递增； 如果f (x)< 0，则函数在这个区间内单调递减。 x O y y f(x ) a b x O y y f(x ) a b f (x)<0 f (x)>0 单调递增 单调减少 特别地： 如果f (x)= 0，则 f (x)= c(c为常数)， 函数为常函数。 ？ 问题1: f '(x)＞0是 f(x)为增函数的什么条件 (1) f '(x)＞0能推出 f(x)为增函数，但反之不一定成立.如:f(x)＝x3在R上单调递增，但 f '(x)＝3x2≥0. ∴f '(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件. (2) f(x)为增函数，一定可以推出 f '(x)≥0，但反之不一定成立，∵f '(x)≥0，即为 f '(x)＞0或 f '(x)＝0.当函数在某个区间内恒有 f '(x)＝0时，则 f(x)为常数，函数不具有单调性. ∴ f '(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件. 问题2：f '(x) ≥ 0是 f(x)为增函数的什么条件 例1、设 是函数 的导函数， 的图象如 右图所示,则 的图象最有可能的是( ) x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 1 2 x y o 2 (A) (B) (C) (D) C 原函数看增减 导函数看正负 + - + 四、例题讲解 题型一：函数与导函数图象关系 变式： D x y O 1 4 3 2 -3 C x y O x y O x y O x y O A D 4.如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象. (A) (B) (C) (D) h t O h t O h t O h t O (B) (A) (C) (D) 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下); 如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较小, 那么函数在这个范围内变化得慢 ... ...
