2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题）专题17：函数之最值问题

2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编（续69套26专题） 专题17：函数之最值问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 一、选择题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 （无） 二、填空题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 1. （2013年广西百色3分）如图，在边长10cm为的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点（P不与A、B两点重合），连结DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE的最大长度为 ▲ cm。 【答案】。 【考点】单动点问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。 【分析】设AP=ｘcm，BE=ycm，则由正方形的性质和AD=10cm得 BP=10－ｘcm， 　　　　由正方形的性质和PE⊥DP可得△APD∽△BEP，∴，即。 　　　　∴。 　　　　∵，∴当时，y最大值＝，即BE的最大长度为cm。 三、解答题【版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强所有，转载必究】 32. （2013年四川遂宁12分）如图，抛物线与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D． （1）求抛物线与直线的解析式； （2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值． 【答案】解：（1）∵经过点A（2，0）和B（0，） ∴，解得。 ∴抛物线的解析式是。 ∵直线经过点A（2，0），∴，解得：。 ∴直线的解析式是。 （2）存在。 设P的坐标是（x，），则M的坐标是（x，）， ∴。 解方程得：或。 ∵点D在第三象限，∴点D的坐标是（﹣8，）。 由令x=0得点C的坐标是（0，）。 ∴。 ∵PM∥y轴，∴要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即。 整理得，解这个方程得：x1=－2，x2=－4，符合﹣8＜x＜2。 当x=－2时，； 当x=－4时，。 ∴直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是 （－2，3）和（－4，）。 （3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=10。 ∴△CDE的周长是24。 ∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE。 ∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE。 ∴，即。 化简整理得：l与x的函数关系式是：。 ∵＜0，∴l有最大值，当x=－3时，l的最大值是15。 【考点】二次函数综合题，单动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由实际问题列函数关系式，二次函数的最值。 【分析】（1）将A，B两点坐标分别代入求出二次函数解析式；将A点坐标代入求出直线解析式。 （2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的判定得出PM=CE，得出等式方程求出即可。 （3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可。 33. （2013年四川自贡12分）将两块全等的三角板如图①摆放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°． （1）将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②，点P1是A1C与AB的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1=CQ； （2）在图②中，若AP1=2，则CQ等于多少？ （3）如图③，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC=1，当BE⊥P1B时，求△P1BE面积的最大值． 【答案】解答：（1）证明：∵∠B1CB=45°，∠B1CA1=90°，∴∠B1CQ=∠BCP1=45°。 ∵在△B1CQ和△BCP1中，， ∴△B1CQ≌△BCP1（ASA）。∴CQ=CP1。 （2）如图，过点P1作P1D⊥CA于D， ∵∠A=30°，∴P1D=AP1= ... ...