2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破 第12讲 对数与对数函数 精品讲义（Word版含答案）

第12讲　对数与对数函数 1.对数的概念 如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2.对数的性质、运算性质与换底公式 (1)对数的性质：①alogaN＝ ；②logaab＝b(a>0，且a≠1). (2)对数的运算性质 如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么 ①loga(MN)＝ ； ②loga＝ ； ③logaMn＝ (n∈R). (3)换底公式：logab＝ (a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1). 3.对数函数及其性质 (1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质 a>1 01时，y>0； 当01时，y<0； 当00 在(0，＋∞)上是 在(0，＋∞)上是 4.反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线 对称.它们的定义域和值域正好互换. 考点1 对数的化简求值 [名师点睛] 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 3.ab＝N b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. [典例]　 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）己知，则_____；_____． 2．（2022·全国·高三专题练习）化简求值 （1）； （2）；. （3）；． （4）. 3．（2022·全国·高三专题练习）（1）计算； （2）已知，求实数x的值； （3）若，，用a，b，表示． [举一反三]　 1．（多选）（2021·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，那么（ ） A． B． C． D． 2．（2022·山东滨州·二模）_____． 3．（2022·全国·高三专题练习）（1）2log32－log3＋log38－； （2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)． 4．（2022·全国·高三专题练习）化简求值： （1）． （2）； （3）. （4） （5）． 5．（2022·全国·高三专题练习）（1）求的值. （2）已知，，试用，表示 考点2 对数函数的图象及应用 [名师点睛] 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. [典例]　 1．（2022·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·广东广州·二模）函数的所有零点之和为_____． [举一反三]　 1．（2022·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A． B． C． D． 考点3 对数函数的性质及应用 [名师点睛] 1．比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0＜a＜1两种情况讨论． 2．与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． [典例]　 1．（2022·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2022·福建莆田·三模）已知，则（ ） A． B． C． D． 3．（2022·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．函数在 ... ...