专题强化练1 直线方程的综合应用 一、选择题 1.(2021重庆合川实验中学校开学考试)已知点(2,3)在直线ax+by+2=0上,则4a+6b-7的值为( ) A.5 B.-11 C.-5 D.11 2.(2020江苏南京大厂高级中学阶段测试)若函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)对任意的实数x都有f =f ,则直线2ax-by+c=0的斜率是( ) A.-2 B.2 C. 3.(2020江苏连云港赣榆智贤高级中学期中)已知直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0与x轴、y轴分别交于A,B两点.当△OAB的面积取得最小值时(O为坐标原点),m的值为( ) A. 二、填空题 4.(2020江苏常州第二中学期中)过直线l:y=x+3与x轴的交点,且与直线l的夹角为30°的直线的方程为 . 5.(2020浙江宁波余姚中学期中)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,2),B(-2,0),C(1,0),分别以AB,AC为边向外作正方形ABEF与ACGH,则点H的坐标为 ,直线FH的一般式方程为 . 三、解答题 6.如图,某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李,如果超过规定,则需要购买行李票,行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系用直线AB的方程表示. (1)求直线AB的方程; (2)问旅客最多可免费携带多少千克的行李 7.(2020江苏淮安洪泽中学期中)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R). (1)证明:直线l过定点; (2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围; (3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值,并求此时直线l的方程. 8.(2020江苏徐州建平中学期中)直线l过点P(3,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点. (1)若直线l的斜率为-2,求△AOB的面积; (2)若△AOB的面积S满足12≤S≤,求直线l的斜率k的取值范围; (3)如图,若,过点P作平行于x轴的直线交y轴于点M,动点E、F分别在线段MP、OA上,若直线EF平分直角梯形OAPM的面积,求证:直线EF必过一定点,并求出该定点坐标. 9.(2020江苏南京江宁高级中学月考)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,点B在第一象限内,∠AOB=. (1)若AB过点M(3,),当△OAB的面积取得最小值时,求直线AB的斜率; (2)若AB=4,求△OAB的面积的最大值; (3)设OA=a,OB=b,若=4,求证:直线AB必过一定点,并求出该定点坐标. 答案全解全析 一、选择题 1.B 将(2,3)代入ax+by+2=0,得2a+3b+2=0,∴2a+3b=-2,∴4a+6b-7=2(2a+3b)-7=-11. 2.A ∵函数f(x)=asin x-bcos x(ab≠0)满足f =f ,∴x=为函数f(x)的图象的对称轴方程,∴f(0)=f ,即-b=a,∴-=1,∴直线2ax-by+c=0的斜率为=-2.故选A. 3.C 由直线(2m+1)x+(1-m)y-3(1+m)=0,m∈,得A, 由-0且>0, 所以△OAB的面积S=, 令1+m=t,则t∈, 所以S=, 所以当t=,即m=-时,S取得最小值.故选C. 二、填空题 4.答案 x-=0或x+=0 解析 由直线l:y=x+3,得直线l的斜率k=,所以直线l的倾斜角为60°, 令y=0,得x=-, 则直线l与x轴的交点坐标为(-,0). 因为所求直线与直线l的夹角为30°, 所以所求直线的倾斜角为30°或90°, 所以所求直线的斜率为或不存在, 故所求直线方程为y=)或x=-, 即x-=0或x+=0. 5.答案 (2,3);x+4y-14=0 解析 如图,分别过H、F作y轴的垂线,垂足为M、N, ∵四边形ACGH为正方形,∴Rt△AHM≌Rt△CAO, ∴AM=OC,MH=OA,∵A(0,2),C(1,0), ∴MH=OA=2,AM=OC=1,∴OM=OA+AM=3, ∴点H的坐标为(2,3), 同理得到点F的坐标为(-2,4), ∴直线FH的斜率k=, ∴直线FH的方程为y-3=-(x-2), 即x+4y-14=0. 三、解答题 6.信息提取 ①行李票费用y(元)与行李质量x(千克)呈线性关系;②由题图中标出的坐标知A(60,6),B(80,10);③A,B两点在直线上. 数学建模 以行李票费用y(元)与行李质量x(千克)的关系为背景构建直线方程. 解析 (1)由题图知点A(60,6),B(80,10). 由直线的两点式方程得, 整理得x-5y-30=0. (2)依题意,令y=0, ... ...
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