五年级奥数讲义：递推方法习题 五年级奥数讲义：递推方法习题解答 习题十四 1.请你根据下列各个数之间的关系,在括号里填上恰当的数 ①1,5,9,13,17,() 2345() 10 ②0.625,1.25,2.5,5,() ④198,297,396,495,(),()。 →22→23 18 16+15+14-1 将自然数1,2,3 按图排列,在“2”处转第一个弯,“3”处转第 个弯,“5”处转第三个弯,…问哪个数处转第二十个弯 3请用速推方法求出甲、乙、丙、丁四人站成一排照相,共有多少种不同 站法 4上一段12级楼梯,规定每一步只能上一级或两级问要登上第1级楼梯共 有多少种不同走法 5有10个村庄,分别用A1,A2,…,A1表示,某人从A出发按箭头方向绕 圈最后经由A再回到A,有多少种不同走法 注:每点(村)至多过一次,两村之间,可走直线,也可走圆周上弧线, 但都必须按箭头方向走 习题十四解答 1①∵相邻两数的差均为4,故括号里应填17+4=21。 ②∵125-0.625=0.625, 2.5-1.25=125, 3.5-2.5=2.5, 可见差正好等于减数。 ∴()=5+5=10 或者:后一个数为前一个数的2倍,故 括号里应填2×5=10 ③∵∶从数列可见分子从2开始逐个增大1;分母从10开始逐个增 大6,要填(),须先知道() 是第几个数分母顺序为:10 22,28,34,40,46,52,58。 这个分数为第9个数。 括号里应填10。 ④十位上数不变,百位上数依次递增1,个位上数依次递减1,故括号中数 应填594,693。 解:拐弯处数的规律可见下页表 拐弯处序号 拐弯处的数 前后关系 1+①=2 ①②③④⑤⑥⑦ 3 5+②= 10+③ 17+④=21 笫19个拐弯处的数比第18个拐弯处的数大10,第20个拐弯处的数比第19 个拐弯处的数也大10,故第20个拐弯处的数为: 1+2×(1+2+3+…+ 3解:假设n个人站成一排共有a种不同站法可以先让其中的n-1个人站成 排,共有a_,种不同的站法,再让剩下的那个人站在他们中间或两头,又有n 种站法由乘法原理,可得到递推公式: a2=n×a2-1° a=4×a3=4×3×a2=4×3×2×a1=4!=24 解:设登上η级楼梯共有a种不同走法,n=1,2,…把上到第n级楼梯的 情形分为两种走法一类是先上到第n-1级楼梯,然后再上一级,共有a种走法 另一类是先上到第n2级楼梯,然后再上两级,共有a种走法由加法原理,上 到第n级楼梯的走法a满足下列递推关系式 叉∵a=1,a2=2,故上楼梯方法数a依次为1,2,3,5,8,13,21,34, 55,89,144,233五年级奥数讲义：递推方法 第十四讲递推方法 递推方法是人们从开始认识数量关系时就很自然地产生的一种推理思想例 如自然数中最小的数是1,比1大1的数是2,接下来比2大1的数是3,…由此得 到了自然数数列:1,2,3,4,5,…在这里实际上就有了一个递推公式,假 设第n个数为a,则 即由自然数中笫n个数加上1,就是第n+1个数。由此可得 a十2=a 这样就可以得到自然数数列中任何一个数 再看一个例子 例1平面上5条直线最多能把圆的内部分成几部分 平面上100条直线最多能把 圆的内部分成几部分 解 假设用a表示k条直线最多能把圆的内部分成的部分数这里k=0 如图可见。 a1=a+1=2 2=4 =a+3=7 a4=a3+4=11 归纳出递推公式a+1=a+m.(1) 即画第n+1条直线时,最多增加n部分原因是这样的:第一条直线最多把 圆分成两部分, 2当画第二条直线时要想把圆内部分割的部分尽可能 多,就应和第一条直线在圆内相交,交点把第二条直线在圆内部分分成两条线 段,而每条线段又把原来的一个区域划分成两个区域,因而增加的区域数是 2,正好等于第二条直线的序号同理,当画第三条直线时,要想把圆内部分割 的部分数尽可能多,它就应和前两条直线在圆内各有一个交点两个交点把第 条线在圆内部分成三条线段而每条线段又把原来一个区域划分成两个区域 而增加的区域部分数是3,正好等于第三条直线的序号,…这个道理适用于任 意多条直线的情形所以递推公式(1)是正确的这样就易求得5条直线最多把 圆内分成 a5=a4+5=11=5=16(部分)。 要想求出100条直线最多能把圆内分 ... ...
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