2022_2023学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2向量基本定理与向量的坐标6.2.1向量基本定理学案新人教B版必修第二册

6．2　向量基本定理与向量的坐标 6．2.1　向量基本定理 新知初探·自主学习———突出基础性 教材要点 知识点一　共线向量的基本定理 一般地，有如下共线向量基本定理：如果a≠0且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa. 状元随笔　在共线向量基本定理中： (1)＝λ时，通常称为能用表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有＝μ，则有λ＝μ．这是因为：由λ＝μ可知(λ－μ)＝，如果λ－μ≠0，则＝，与已知矛盾，所以λ－μ＝0，即λ＝μ． (3)定理中的条件“≠”不能省略，如果＝，≠，不存在实数λ，使得＝λ．如果＝，＝，则对任意实数λ，都有＝λ． 知识点二　平面向量的基本定理 一般地，有如下平面向量基本定理： 如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb. 状元随笔　平面向量基本定理的理解 (1)1，2是同一平面内的两个不共线的向量，1，2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底． (2)平面内的任一向量a→都可以沿基底进行分解． (3)基底1，2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． (4)本质：就是利用平面内两个不共线的向量通过向量的加法、减法及数乘向量表示平面内的任意一个向量． 基础自测 1．设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组： ①与；②与；③与；④与，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是(　　) A．①②B．①③ C．①④D．③④ 2．已知△ABC的边BC上有一点D，满足＝3，则可表示为(　　) A．＝＋ B．＝＋ C．＝－2＋3 D．＝＋ 3．如图所示，向量可用向量e1，e2表示为_____． 4．设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为_____． 课堂探究·素养提升———强化创新性 题型1　共线基本定理 例1　设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线时，λ的值为(　　) A．0　 B．－1　 C．－2　 D．－ 状元随笔　利用向量共线定理解答． 方法归纳 1．共线向量定理的应用 (1)证明向量共线，对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线． (2)证明三点共线，若存在实数λ，使＝λ，则A，B，C三点共线． 提醒：证明三点共线时，要说明共线的两向量有公共点． 2．利用向量共线求参数的方法 已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值．同时利用此定理也可以证明点共线或线共面问题． 跟踪训练1　已知两个非零向量a、b不共线，＝a＋b，＝a＋2b，＝a＋3b. (1)证明：A，B，C三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b与a＋kb共线． 状元随笔　(1)根据共线向量基本定理证明；(2)利用共线向量基本定理建立方程组求解． 题型2　平面向量基本定理的理解[经典例题] 例2　(1)设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量： 利用相同向量的系数对应相等求解． ①e1与e1＋e2； ②e1－2e2与e2－2e1； ③e1－2e2与4e2－2e1； ④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是_____(写出满足条件的序号)； (2)已知平面向量e1，e2是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝_____． 状元随笔　由基底的定义知，平面α内两个不共线的向量1、2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，要判断所给的两个向量能否构成基底，只要看这两个向量是否共线即可． 方法归纳 对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这组基底唯一线性表示出来．设向量a与b是平面内两个不共 ... ...