4.7 数学建模活动：生长规律的描述 教案

4.7 数学建模活动：生长规律的描述教案 教学课时： 　　教学目标： 　　1、经历从实际问题建立数学模型、运算求解、验证模型、改进模型的全过程，掌握建模方法以及论文写作方法，培养数学建模、数学运算等核心素养； 　　2、在数学建模过程中，选择适当的拟合函数，巩固函数概念以及对基本初等函数增长速度的比较与甄别，渗透待定系数法与方程思想。 　　教学重点： 　　数学建模的全过程。 　　教学难点： 　　选择适当的拟合函数与改进模型。 　　教学过程： 　　一、发现问题、提出问题 　　生物的生长发育是一个连续的过程，但不同的时间段可能有不同的增长速度。 　　卫生部2009年6月发布的《中国7岁以下儿童生长发育参照标准》指出，我国7岁以下女童身高（长）的中位数如下表所示（0岁指刚出生时）： 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 年龄/岁 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 身高/cm 99.4 103.1 106.7 110.2 113.5 116.6 119.4 　　交流与讨论1： 　　①这个问题中涉及到两个量———年龄和身高，你能否用自己的语言描述这两个量之间的关系？ 　　②这两个量之间的关系是不是函数关系？为什么？ 　　③如果是函数关系，哪个是自变量？哪个是因变量？定义域和值域分别是什么？有什么性质？你能否写出一个函数解析式表示这个关系？ 　　【设计意图】 　　从实际问题出发，引导学生发现问题、提出问题，从概念及表示方法上引导学生深入思考，为解决问题作一铺垫。 　　二、分析问题、建立模型 　　交流与讨论2： 　　①你认为怎样选择函数模型来刻画年龄和身高之间的变化关系？ 　　我们可以先画出它的图像，从直观上看看像什么函数： 　　②我们学过一些什么函数？ 　　预设答案：幂函数（包括一次函数、二次函数、反比例函数等）、指数函数、对数函数.还可能会答：分段函数。 　　③你觉得这个图像最像什么函数的图像？你能大概写出它的解析式吗？ 　　预设答案：幂函数、对数函数。教学中，结合函数图像变换，进一步引导学生写出函数解析式的待定形式：， 。还可引导学生思考：指数函数 与这两个模型相比呢？ 　　【设计意图】 　　从列表法到图像法表示函数，再到解析法表示函数，进一步巩固用函数刻画生长变化规律基本思路———用解析式来拟合数据与图像，这是一个逆过程，需要直观选择、模型对比、调整改进.为后面运算求解模型、改进模型埋下伏笔。 　　三、确定参数，计算求解 　　交流与讨论3： 　　①如果选择，你怎么确定指数m/n？怎么确定a和b？如果选择，你怎么确定底数a和系数b？ 　　②请大家选择一个函数模型，各自选择适当的数据求出函数解析式。 　　③分别针对同一个函数模型的求解结果进行交流、对比，借助图像，凭直觉初步感知同一模型不同结果的优劣，以及不同模型刻画数据的优劣。 　　【设计意图】 　　通过选择不同的函数模型，以及选择同一函数模型而选择不同的数据求出待定系数，让学生体会拟合过程需要改进的必要性。 　　四、验证结果、改进模型 　　因为我们在求函数解析式时，都只用到了部分已有数据，而其它数据一般不可能与所求出的解析式完全吻合，所以我们需要验证所建立的函数模型的优劣。 　　交流与讨论4： 　　①你认为怎么验证函数模型？（从上述两类函数模型中，选择大家认为拟合较好的两个函数f1(x)和f1(x)，列表、画图像，验证函数模型。） 　　预设答案：一是从已有数据中找出没有使用的数据代入函数解析式，看误差有多大，或者直接列成下表，将函数值与原有数据一一比对；二是在原来的图像中再画出所求函数的图像，看两个图像的偏差有多大。 年龄/岁 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 身高/cm 49.7 66.8 75 81.5 87.2 92.1 96.3 f1(x) f2(x) 年龄/岁 3.5 4 ... ...