3.3 抛物线 3.3.1 抛物线的标准方程 基础练 1.准线与x轴垂直,且经过点(1,-)的抛物线的标准方程是( ) A.y2=-2x B.y2=2x C.x2=2y D.x2=-2y 2.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(-1,1),则该抛物线的焦点坐标为( ) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 3.设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.6 C.8 D.12 4.若抛物线y2=2px(p>0)上的点A(x0,4)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于( ) A.2 B.4 C.6 D.8 5.(2022重庆八中高二期中)若点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,则点P的轨迹方程为( ) A.y2=4x B.x2=4y C.y2=8x D.x2=8y 6.已知抛物线x2=2py(p>0)上一点P到焦点的距离与到x轴的距离之差为1,则p=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知抛物线C:x2=2py(p>0),点Ax0,在C上,点B的坐标为0,-,若|AB|=5,则C的焦点坐标为 . 8.已知抛物线的准线过双曲线=1(a>0,b>0)的一个焦点,且这条准线与双曲线的两个焦点的连线互相垂直,又抛物线与双曲线交于点,求抛物线和双曲线的标准方程. 提升练 9.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,则p=( ) A.4或1 B.2或4 C.1或2 D.1 10.M是抛物线y2=2px(p>0)上一点,F为抛物线的焦点,O为坐标原点,FM⊥x轴,且|OM|=,则抛物线的准线方程为( ) A.x=-1 B.x=-2 C.y=-1 D.y=-2 11.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C上的两点P,Q均在第一象限,且|PQ|=2,|PF|=3,|QF|=4,则直线PQ的斜率为 ( ) A.1 B. C. D. 12.设O为坐标原点,直线x=2与抛物线C:y2=2px(p>0)交于D,E两点,若OD⊥OE,则C的焦点坐标为 . 13.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,且斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),则=a,解得a=2,因此抛物线的标准方程为y2=2x,故选B. 2.B 抛物线y2=2px(p>0)的准线为x=-且过点(-1,1),故-=-1,解得p=2. 所以抛物线的焦点坐标为(1,0). 3.B 抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,则点P到准线的距离为6,即点P到抛物线焦点的距离是6. 4.D 由题意可得3x0=x0+,即x0=,则(4)2=2p·,解得p=8(负值舍去).故选D. 5.D ∵点P到点(0,2)的距离比它到直线y=-1的距离大1,∴点P到点(0,2)的距离等于它到直线y=-2的距离. 由抛物线的定义可知,点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线, ∴p=4,∴点P的轨迹方程为x2=8y.故选D. 6.B 由抛物线的方程可得准线的方程为y=-,设P的纵坐标为n,由抛物线的性质,则n+-n=1,解得p=2,故选B. 7.0, ∵点Ax0,在C上, ∴=2p·,解得x0=±p. 又点B的坐标为0,-, ∴=5,解得p=5. 故抛物线C的焦点坐标为0,. 8.解由题意可知,抛物线的焦点在x轴正半轴上,故可设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),根据点在抛物线上可得=2p·,解得p=2. 故所求抛物线的标准方程为y2=4x,抛物线的准线方程为x=-1. ∵抛物线的准线过双曲线的一个焦点, ∴c=1,即a2+b2=1. 故双曲线的标准方程为=1. ∵点在双曲线上, ∴=1,解得a2=或a2=9(舍去). 故所求双曲线的标准方程为=1. 9.B 设点M的坐标为(xM,yM),因为抛物线y2=2px(p>0)上一点M到其准线及x轴的距离分别为3和2,所以代入抛物线方程可得8=2p3-,整理得p2-6p+8=0,解得p=2或p=4.故选B. 10.A 抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,0, ∵M为抛物线上的点,且FM⊥x轴, ∴M,p或M. 又|OM|=,∴2+p2=5, 解得p=2或p=-2(舍),则=1, ∴抛物线的准线方程为x=-1,故选A. 11.C 如图所示,作QM垂直准线于点M,P ... ...
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