【备战2014高考数学专题汇编】专题22：立体几何问题

【备战2014高考数学专题汇编】 专题22：立体几何问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 1～2专题，我们对客观性试题解法进行了探讨，3～8专题，对数学思想方法进行了探讨，9～12专题对数学解题方法进行了探讨，从第13专题开始我们对高频考点进行探讨。 立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。。在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。 结合2013年全国各地高考的实例，我们从以下六方面探讨立体几何问题的求解： 1. 立体几何的概念； 2. 多面体及球体的概念、性质、计算； 3. 由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算： 4. 关于线线、线面及面面平行的问题； 5. 关于线线、线面及面面垂直的问题； 6. 关于空间距离和空间角的问题。 一、立体几何的概念： 典型例题：【版权归锦元数学工作室，不得转载】 【解析】选项B、C、D中的都是公理，是平面的三个基本性质，而选项A，平行于同一个平面的两个平面平行是定理不是公理。故选A。 例2. （2013年北京市理5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为 ▲ . 【答案】。 【考点】点、线、面间的距离计算。 【分析】如图，以D为原点，DA，DC，DD1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，过点P作PH⊥CC1于点H，连接PC 则D1(0，0，2)，E(1，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，，，。 设， 则， 。 ∴点P到直线CC1的距离： 。 ∴当λ＝时，距离的最小值为。 另解：过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1，交B1C1于点E1，连接D1E1，过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1，交D1E1于点H，P点到直线CC1的距离就是C1H， 故当C1H垂直于D1E1时，P点到直线CC1距离最小。 此时，在Rt△D1C1E1中，C1H⊥D1E1，D1E1·C1H＝C1D1·C1E1， ∴C1H＝。 例3. （2013年北京市文5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有【　　】 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B。 【考点】点、线、面间的距离计算，特殊元素法的应用。 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长|AB|=3，则A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），A1（3，0，3），B1（3，3，3），C1（0，3，3），D1（0，0，3）， ∴。 设P（x，y，z）， ∵， ∴。 ∴， 。 故P到各顶点的距离的不同取值有，3，，共4个。故选B。 例4. （2013年江西省理5分）如果，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，正方体的六个面所在的平面与直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=【 】 A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A。 【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面的位置关系。 【分析】由题意可知直线CE与正方体的上底面平行在正方体的下底面上，与正方体的四个侧面不平行，所以m=4； 直线EF与正方体的左右两个侧面平行，与正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4。 所以m+n=8。 故选A。 例5. （2013年江西省文5分）如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB//CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ▲ 。 【答案】4。 【考点】平面的基本性质及推论，直线与平面的位置关系。 【分析】由题意可知， 直线EF与正方体的左右两个侧面平行 ... ...