6.1.5 向量的线性运算 一、概念练习 1.在中，AD为BC边上的中线，M为AD(靠近点A)的三等分点，则( ) A. B. C. D. 2.等于( )。 A. B. C. D. 3.已知向量满足，则的最大值为( ) A.1 B. C. D.2 4.如图，在边长为2的菱形ABCD中，为BC的中点，则 ( ) A.-3 B.0 C.-1 D.1 5.已知点不在同一条直线上,点为该平面上一点,且,则( )。 A.点在线段上 B.点在线段的反向延长线上 C.点在线段的延长线上 D.点不在直线上 二、能力提升 6.在中，设为AC边的中点，则( ) A. B. C. D. 7.在中,为边上的中线,E为的中点，则( ) A. B. C. D. 8.（多选）下列结论中正确的是( ) A.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 B.已知A，B，C是平面内任意三点，则 C.若O为所在平面内任一点，且满足，则为等腰三角形 D.若向量a与b同向，且，则 9.（多选）如图，直角三角形ABC中，D，E是边AC上的两个三等分点，G是BE的中点，直线AG分别与BD，BC交于点F，H.设，，则( ) A. B. C. D. 10.（多选）如图，在中，，D，E是BC的三等分点，且，则( ) A. B. C. D. 11.设D，E分别是的边AB，BC上的点，.若(为实数)，则的值为_____. 12.如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，，，AD与CE的交点为O.若，则AB的长为_____. 13.化简：_____。 14.在中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且，设.求证：. 15.如图所示，已知的边BC，CD上的中点分别为K，L，且，试用表示. 答案以及解析 1.答案：B 解析：根据向量的运算法则，可得. 2.答案：B 解析：原式。 3.答案：D 解析：由，可得，又因为，所以由，得，即，所以，因为，所以，当且仅当时取等号.故选D. 4.答案：C 解析：. 5.答案：B 解析：, ,即, 点在线段的反向延长线上, 所以B选项是正确的. 6.答案：D 解析：因为为AC边的中点，所以. 由向量减法的三角形法则可得，，故选D. 7.答案：A 解析：根据向量的运算法则，可得 ， 所以,故选A. 8.答案：ABC 解析：A选项，因为零向量与任意向量共线，若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，故正确.B选项，因为，，所以，故正确.C选项，因为，所以，则为等腰三角形，故正确.D选项，向量不能比较大小，故错误.故选ABC. 9.答案：ACD 解析：本题考查平面向量线性运算及平面向量基本定理.连接DG（图略），因为D，G分别是AE，BE的中点，所以，，则，选项A正确；易知F为的重心，所以，选项B错误；，选项C正确；设，又B，H，C三点共线，所以，则，所以，选项D正确.故选ACD. 一题多解：以A为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴的正方向建立平面直角坐标系.设，，则，，，，，.又F为的重心，则.直线AG的方程为，直线BC的方程为，联立解得，则，，，.因为，，所以，，，.故选ACD. 10.答案：BCD 解析：对于A，，故选项A不正确； 对于B，由题意得D为BE的中点，所以，故选项B正确； 对于C，取DE的中点G，由，D，E是BC的三等分点得G是BC的中点，且，所以，所以，，故选项C正确； 对于D，由G是BC的中点得，两边平方得，所以，故选项D正确. 故选BCD. 11.答案： 解析：由已知 ， 所以，从而. 12.答案： 解析：本题考查平面向量的线性运算及数量积.是BC的中点，，，.，O，C三点共线，可设.，O，D三点共线，，解得，.，，，. 13.答案： 解析：。 14.答案：见解析 解析：， . . 15.答案：见解析. 解析：设， 则 解得 即， . ... ...
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