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课件网) 第五章 函数应用 §1 方程解的存在性及方程的近似解 1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 核心知识目标 核心素养目标 1.理解函数的零点、方程的根和图象与x轴的交点三者之间的关系. 2.会借助零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数. 1.通过对函数零点概念的学习,培养数学抽象素养. 2.通过把函数零点问题转化为对应函数图象交点的问题加以解决,培养直观想象素养. 知识探究·素养培育 探究点一 [问题1] 完成下表: 函数的零点 一元二次方程 方程的根 二次函数 函数图象 图象与x轴的交点 x2-2x-3=0 ① . y=x2-2x-3 ④ . x2-2x+1=0 ② . y=x2-2x+1 ⑤ . x2-2x+3=0 ③ . y=x2-2x+3 ⑥ . (1)观察表格,方程的根和相应函数图象与x轴的交点的横坐标有什么关系 (2)其他的函数与方程之间也有类似的关系吗 方程根的个数和图象与x轴交点的个数有什么关系 提示:①x1=-1,x2=3;②x1=x2=1;③无实数根;④两个交点:(-1,0),(3,0);⑤一个交点:(1,0);⑥没有交点. (1)一元二次方程的根就是相应函数图象与x轴交点的横坐标. (2)方程f(x)=0有几个根,y=f(x)的图象与x轴就有几个交点,且方程的根就是交点的横坐标. 知识点1:函数的零点 (1)概念:使得 的数x0称为方程f(x)=0的解,也称为函数f(x)的零点. (2)方程、函数、图象之间的关系: 函数y=f(x)的 就是函数y=f(x)的图象与 ,也就是方程f(x)=0的解. f(x0)=0 零点 x轴交点的横坐标 [思考1-1] 函数的零点是一个点吗 提示:①函数零点不是一个点,而是具体的自变量的取值.②求函数零点就是求方程f(x)=0的根. [思考1-2] 函数的零点与方程的根有什么共同点和区别 函数与方程之间有何联系 提示:(1)联系:①数值上相等:求函数的零点可以转化成求对应方程的根; ②存在性一致:方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点. (2)区别:零点对于函数而言,根对于方程而言. 函数与方程有着密切的联系,函数问题有时可转化为方程问题,同样,有些方程问题可以转化为函数问题来求解,这正是函数与方程思想的基础. [例1] (1)求函数f(x)=1-log2(x+3)的零点; 解:(1)令1-log2(x+3)=0,得x=-1, 所以函数f(x)=1-log2(x+3)的零点是-1. (3)已知函数f(x)=ax-b(a≠0)的零点为3,求函数 g(x)=bx2+ax的零点. 解:(1)令2x-1-3=0,得x=log26,所以函数f(x)=2x-1-3的零点是log26. 变式训练1-1:求下列函数的零点: (1)f(x)=2x-1-3; (3)当x>0时,由f(x)=0,即ln x=0,解得x=1; 当x≤0时,由f(x)=0,即ex+1-1=0,解得x=-1. 综上,该函数的零点为1和-1. 方法总结 根据函数解析式求函数零点的两种方法 (1)代数法:求方程f(x)=0的实数根. (2)几何法:对于不易求根的方程f(x)=0,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点. 注意:几何法常用来判断函数的零点个数. 探究点二 零点存在定理 [问题2] 观察函数的图象: ①在区间(a,b)上 (填“有”或“无”)零点; f(a)·f(b) 0(填“<”或“>”). ②在区间(b,c)上 (填“有”或“无”)零点; f(b)·f(c) 0(填“<”或“>”). ③在区间(c,d)上 (填“有”或“无”)零点; f(c)·f(d) 0(填“<”或“>”). 提示:①有 < ②有 < ③有 < 知识点2:零点存在定理 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条 的曲线,并且在区间端点的函数值 ,即 ,则在开区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即在区间(a,b)内相应的方程f(x)=0至少有一个解. 连续 一正一负 f(a)·f(b)<0 [思考2] 应用该定理要具备哪些条件 提示:定理要求具备两条:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条 曲线; ②f(a)·f(b)<0. [例2] (1)f(x)=2x·(x-a)-1在(0,+∞)内有零点,则a的取值 ... ...
