4.1 数列的概念 1.数列的概念及通项公式 知识点一 数列及其有关概念 1．一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． 2. 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 知识点二 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三 函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 知识点四 数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 知识点五 通项公式 1．如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． 2．通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 2.数列的递推公式 知识点一 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 思考 仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列吗？ 答案 不能．知道了首项和递推公式，才能确定这个数列． 知识点二 数列的前n项和Sn与an的关系 1．把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. 2．an＝ 4.2 等差数列 1.等差数列的概念及通项公式 知识点一 等差数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，公差可正可负可为零． 思考 你能根据等差数列的概念写出它的数学表达式吗？ 答案 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)． 知识点二 等差中项的概念 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项且2A＝a＋b. 知识点三 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d. 知识点四 从函数角度认识等差数列{an} 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d， 则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d ； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 2.等差数列的性质 知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 ①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， ②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， ③d＝(m，n∈N*，且m≠n)． 知识点二 等差数列的性质 1．若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为kd的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) 2.下标性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq. 特别地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，则有am＋an＝2ap. 3．在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 4．等差数列{an}的公差为d，则d>0 {an}为递增数列； d<0 {an}为递减数列；d＝0 {an}为常数列． 3.等差数列前n项和公式的推导及简单应用 知识点 等差数列的前n项和公式 ... ...
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