第十章 圆锥曲线 第63课 椭圆及其标准方程 1．（2012哈尔滨质检）设、分别是椭圆的左、右焦点，是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的横坐标为（ ） A．1 B． C． D. 【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，， 设，∵，∴ ， 即 ， ∴ ． 又 ∵ ，∴， 解得 ，∵，∴． ∵，∴． 2．（2012莱芜质检）若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上任意一点，则最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知可得，设，则 ， ∵， ∴时，取得最小值． 3．（2012上海闸北质检）椭圆的左、右焦点分别是，，过的直线与椭圆相交于，两点，且，，成等差数列． （1）求证：； （2）若直线的斜率为1，且点在椭圆上，求椭圆的方程． 【解析】（1）由题设，得， 由椭圆定义， ∴． （2）由点在椭圆上， 可设椭圆的方程为， 设，，， ：， 由，得，（*） 则 ， ∴， 解得， ∴椭圆的方程为． 4．已知、分别是椭圆的左右两个焦点，为坐标原点，点在椭圆上，线段与轴的交点为线段的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）点是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于，求的值． 【解析】（1）∵点为线段的中点， ∴是的中位线， 又，∴， ∴，解得， ∴椭圆的标准方程为． （2）∵点在椭圆上，、是椭圆的两个焦点， ∴，， 在，由正弦定理，， ∴． 5．（2012北京石景山一模）已知椭圆（）右顶点到右焦点的距离为，短轴长为． （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点的直线与椭圆分别交于、两点，若线段的长为，求直线的方程． 【解析】（1）由题意得 ，解得． ∴椭圆方程为． （2）当直线与轴垂直时，， 此时不符合题意故舍掉； 当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为：， 由，得 ． 设 ，则 ， ∴ ， 由， ∴直线，或． 6． (2013揭阳联考) 如图，在中，，，以、为焦点的椭圆恰好过的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右顶点作直线与圆相交于、两点，试探究点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧吗？若能，求出直线的方程；若不能，请说明理由. 【解析】（1）∵，∴ ， ∴，∴， ∴， ， ∴ ，∴， 又，∴， ∴椭圆的标准方程为 （2）椭圆的右顶点，圆圆心为，半径. 假设点、能将圆分割成弧长比值为的两段弧，则， 圆心到直线的距离. 当直线斜率不存在时，的方程为， 此时圆心到直线的距离（符合）， 当直线斜率存在时， 设的方程为，即， ∴圆心到直线的距离 ，无解. 综上：点M、N能将圆分割成弧长比值为 的两段弧，此时方程为. 第64课 椭圆的简单几何性质 1．（2012烟台质检）设、为椭圆的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交、 两点，当四边形面积最大时，的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵面积 ， 当且仅当、为椭圆短轴上两端点时等号成立， ∴不妨设的坐标为， ∴． 2．（2012佛山二模）已知直线：与椭圆：交于两点，为椭圆的点，则使的面积为的点的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】 C 【解析】∵，∴点到直线的距离， 设过点的直线方程为， ∴直线和直线的距离， ∴，解得或， 当时，由，得， ∵，∴有两解． 当时，由，得， ∵，∴无解． 3．（2011陕西高考）设椭圆: 过点，离心率为． （1）求的方程； （2）求过点且斜率为的直线被所截线段的中点坐标． 【解析】（1）将点代入的方程得, ?∴， 又 得，即， ? ∴，∴的方程为 （2）过点且斜率为的直线方程为， 设直线与的交点为，， ∵，即， ∴ 的中点坐标， ， ∴所截线段的中点坐标为． 4．已知椭圆过点，且离心率. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与该椭圆有两个交点，当线段的中点在直线上时，求的取值范围. 【解析】（1）依题意： ∴. 由，得. ∴. ∴所求椭圆方程为. （2）由，得 ， ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴， ∴ （* ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
