【备战2014中考数学专题汇编】专题30：高频考点剖析之平面几何之等腰（边）三角形问题

【备战2014中考数学专题汇编】 专题30：高频考点剖析之平面几何之等腰（边）三角形问题 江苏泰州锦元数学工作室 编辑 【备战2014中考数学专题汇编】系列由江苏泰州锦元数学工作室精心编辑，在对全国2013年170套中考数学试卷解析的基础上分若干专题对基本解题方法进行归纳探讨。汇编分三个单元52专题：第一单元：客观性试题解法探讨（2专题），第二单元：数学思想方法探讨（9专题），第三单元：高频考点剖析（41专题）。 从12专题开始，我们针对中考数学中的热门考点，分41个专题进行探讨。 等腰（边）三角形问题是中考中必考的一个热点问题。 考纲要求1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算； 2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算； 3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。 有两边相等的三角形叫等腰三角形。等腰三角形中，相等的两个边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。 结合2013年全国各地中考的实例，我们从十方面进行平面几何之等腰（边）三角形问题的探讨： （1）等腰三角形的判定（等角对等边）问题； （2）等腰三角形的性质（等边对等角）问题； （3）等腰三角形的性质（三线合一）问题； （4）等腰三角形的性质（腰上高、中线、底角平分线相等等）问题； （5）等腰三角形的性质（轴对称）问题； （6）等腰三角形的多解问题； （7）等边三角形问题； （8）等腰直角三角形问题； （9）黄金三角形问题； （10）等腰（边）三角形综合问题。 一、等腰三角形的判定（等角对等边）问题： 在同一三角形中，有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称：等角对等边）。这是等腰三角形的判定定理。 典型例题：版权归江苏泰州锦元数学工作室邹强，转载必究 1.（2013年四川成都3分）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为【 】 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D。 【考点】等腰三角形的判定。 【分析】∵∠B=∠C，AB=5， ∴AB=AC=5。 故选D。 2.（2013年山东淄博4分）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为【 】 A． B． C．3 D．4 【答案】C。 【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理。 【分析】∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形。 同理△CAD是等腰三角形。 ∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）。∴PQ是△ADE的中位线。 ∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6。 ∴PQ=DE=3。故选C。 3.（2013年广西桂林8分）如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，连接AF，DE交于点O．求证： （1）△ABF≌△DCE； （2）△AOD是等腰三角形． 【答案】证明：（1）在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=DC， ∵BE=CF，BF=BC﹣FC，CE=BC﹣BE，∴BF=CE。 在△ABF和△DCE中，∵AB=DC，∠B=∠C，BF=CE， ∴△ABF≌△DCE（SAS）。 （2）∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF=∠EDC。 ∵∠DAF=90°﹣∠BAF，∠EDA=90°﹣∠EDC，∴∠DAF=∠EDA。∴AO=DO。 ∴△AOD是等腰三角形。 【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定。 【分析】（1）根据矩形的性质可得∠B=∠C=90°，AB=DC，然后求出BF=CE，再利用“边角边”证明△ABF和△DCE全等即可。 （2）根据全等三角形对应角相等可得∠BAF=∠EDC，然后求出∠DAF=∠EDA，然后根据等腰三角形的定义证明即可。　 4.（2013年吉林长 ... ...