第三章 圆锥曲线的方程 3.2.2 双曲线的简单几何性质 （1课时） 【教学内容】 双曲线的几何性质及影响张口大小的因素； 双曲线方程与性质之间的互推； 双曲线与直线的相关问题； 圆锥曲线的统一定义。 【教学目标】 1.类比椭圆的几何性质研究和发现双曲线的几何性质，提升数学抽象及数学运算素养； 2.理解渐近线的斜率和离心率的大小对双曲线“张口”大小的影响，提升逻辑推理及数学运算素养； 3.能利用双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，提升数学运算素养； 4.解决直线与双曲线的相关问题，提升数学抽象及数学运算素养； 5.感受圆锥曲线的另一种定义方式，提升数学抽象及数学运算素养 【教学重难点】 教学重点：双曲线的几何性质 教学难点：1、离心率的求法； 影响张口大小的因素； 双曲线与直线间的相关问题。 【教学过程】 温故而直线———双曲线的几何性质 类比椭圆的几何性质研究和发现双曲线的几何性质 渐近线的探究 探究（书P122) 利用信息技术画出双曲线和两条直线=0.在双曲线的右支上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线=0的距离d。沿曲线向右上方拖动点M，观察xM与d的大小关系。你发现了什么？ 答：可以发现，点M的横坐标xM越来越大，d越来越小，但d始终不等于0 (1)双曲线的渐近线 双曲线的渐近线方程为=0；双曲线的渐近线方程为=0 等轴双曲线———在双曲线(a>0,b>0)中，如果a=b，实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。 等轴双曲线方程为x2-y2=m(m≠0) 若m>0，则双曲线的焦点在x轴上；若m<0，则双曲线的焦点在y轴上 等轴双曲线的渐近线方程为y=，离心率e= 双曲线影响“张口”大小的因素探究 思考1（书P123)：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？ 答：离心率越大，开口越大；离心率越小，越接近1，开口越小 思考2：用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？答：离心率越大，渐进线斜率的绝对值也会越大，开口越大 思考3：用渐近线与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？ 所以当离心率e越大，渐近线斜率的绝对值越大，从而双曲线的开口越大 小结：双曲线的几何性质 经典题型 题型一：由双曲线方程研究其几何性质 经典例题一（书P124 例3) 求双曲线9y2 – 16x2 =144的实半轴与虚半轴长,焦点坐标,离心率及渐近线方程, 并画出双曲线草图. 解：把原方程整理成标准方程：. 由此可知，实半轴长a=4，虚半轴长b=3;c===5，焦点坐标是（0，-5），（0，5）；离心率e==；渐近线方程为y= 小结：把双曲线方程化为标准方程，并准确找出a、b、c是解决本题的关键 经典例题二 (1)若双曲线－＝1(a>0,b>0)的一条渐近线与直线y=2x垂直，则其离心率为_____ (2)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则双曲线C的离心率为_____. (1)解1：由题意可得，=，故可设a=2k，b=k(k>0). 所以c==k，所以e===. 解2：由题意可得，=， 所以e== (2)解: 不妨设|PF1|>|PF2|，则|PF1|－|PF2|＝2a， 又|PF1|＋|PF2|＝6a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a， 又|F1F2|＝2c，则在△PF1F2中，∠PF1F2＝30°， 由余弦定理得(2a)2＝(4a)2＋(2c)2－2×4a·2c·cos 30°， 整理得： 两边同时除以a2，得＝0，所以e＝. 小结：求双曲线离心率的三种方法： (1)若可求得a，c，则直接利用e＝求解. (2)若已知a，b，可直接利用e＝求解. (3)若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且p≠0)，两边同时除以a2,则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解. 题型二：根据双曲线的几何性质求方程 经典例题三 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点为(0，13)，且离心率为； (2)渐近线方程为y＝±x，且经过点A ... ...
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