2022~2023学年中考数学一轮复习专题15图形折叠问题

2022~2023学年中考数学一轮复习专题15图形折叠问题 一、直角三角形折叠问题 1．（2021·广安）如图，将三角形纸片 折叠，使点 、 都与点 重合，折痕分别为 、 .已知 ， ， ，则 的长为　 　. 【答案】 【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形 【解析】【解答】解：∵把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE，FG， ∴BE=AE，AF=FC，∠FAC=∠C=15°， ∴∠AFE=30°，又AE=EF， ∴∠EAF=∠AFE=30°， ∴∠AEB=60°， ∴△ABE是等边三角形，∠AED=∠BED=30°， ∴∠BAE=60°， ∵DE= ， ∴AE=BE=AB= =2， ∴BF=BE+EF=4，∠BAF=60°+30°=90°， ∴FC=AF= = ， ∴BC=BF+FC= ， 故答案为： . 【分析】由折叠的性质得出BE＝AE，AF＝FC，∠FAC＝∠C＝15°，得出∠AFE＝30°，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝∠AFE＝30°，证出△ABE是等边三角形，求得∠BAE的度数，求出AE＝BE的值，易求得∠BAF＝90°，利用勾股定理求出AF，即CF，由线段的构成BC=BF+FC可求解． 2．（2021·无锡）如图，在 中， ， ， ，点E在线段 上，且 ，D是线段 上的一点，连接 ，将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上时， 　 　. 【答案】 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：过点F作FM⊥AC于点M， ∵将四边形 沿直线 翻折，得到四边形 ，当点G恰好落在线段 上， ∴FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1， ∴EG= ， ∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°， ∴ ， ∴ ， ∴ = ， ， ∴AM=AE+EM= ， ∴ . 故答案是： . 【分析】过点F作FM⊥AC于点M，根据折叠的性质可得FG= ，∠EFG= ，EF=AE=1，由勾股定理求出EG=3，证明，可得，从而求出EM、MF、AM的长，利用勾股定理求出AF即可. 3．（2022·德阳）如图，直角三角形 纸片中， ，点 是 边上的中点，连接 ，将 沿 折叠，点 落在点 处，此时恰好有 .若 ，那么 　 　. 【答案】 【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；翻折变换（折叠问题）；锐角三角函数的定义；直角三角形斜边上的中线 【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∵D为AB中点， ∴在直角三角形中有AD=CD=BD， ∴∠A=∠DCA， 根据翻折的性质有∠DCA=∠DCE，CE=AC， ∵CE⊥AB， ∴∠B+∠BCE=90°， ∵∠A+∠B=90°， ∴∠A=∠BCE， ∴∠BCE=∠ECD=∠DCA， ∵∠BCE+∠ECD+∠DCA=∠ACB=90°， ∴∠BCE=∠ECD=∠DCA=30° ∴∠A=30°， ∴在Rt△ACB中，BC=1， 则有 ， ∴ 故答案为：. 【分析】根据内角和定理可得∠A+∠B=90°，根据直角三角形斜边上中线的性质可得AD=CD=BD，由等腰三角形的性质可得∠A=∠DCA，根据翻折的性质可得∠DCA=∠DCE，CE=AC，由同角的余角相等可得∠A=∠BCE，则∠A=∠BCE=∠ECD=∠DCA=30°，根据三角函数的概念可得AC，据此可得CE. 4．（2021·鄂尔多斯）如图，在 中， ，将边 沿 折叠，使点B落在 上的点 处，再将边 沿 折叠，使点A落在 的延长线上的点 处，两条折痕与斜边 分别交于点N、M，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题） 【解析】【解答】解：∵ ∴AB= ， ∵S△ABC＝ ×AB×CN＝ ×AC×BC ∴CN＝ ， ∵AN＝ ， ∵折叠 ∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM， ∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°， ∴∠B'CN +∠A'CM＝45°， ∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB， ∴∠NMC＝∠NCM＝45°， ∴MN＝CN＝ ， ∴A'M＝AM＝AN MN＝ - = ． 故答案为：B． 【分析】利用勾股定理求出AB=10，再求出MN＝CN＝ ，最后计算求解即可。 5．（2022·济宁）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合 ... ...