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课件网) 3.2.2-3.2.3 空间向量的平行和垂直问题 A 平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面 ，则称这个向量垂直于平面 ,记作 ⊥ ，如果 ⊥ ，那 么 向 量 叫做平面 的法向量. 给定一点A和一个向量 ,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的. 几点注意： 1.法向量一定是非零向量; 2.一个平面的所有法向量都互相平行; 3.向量 是平面的法向量，向量 是与平面平行或在平面内，则有 l m l （一）. 平行关系： α α β m l （一）. 平行关系： α α β （二）、垂直关系： l m l A B C α β 1、平行关系： 2、垂直关系： 例1.设 分别是直线l1,l2的方向向量,根据下 列条件,判断l1,l2的位置关系. 平行或重合 垂直 平行或重合 例1.设 分别是平面α,β的法向量,根据 下列条件,判断α,β的位置关系. 垂直 平行或重合 相交 例2 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形, PD⊥底面ABCD，PD=DC=6, E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2 . 求证：AE//FG. A B C D P G X Y Z F E A(6,0,0), F(2,2,0), E(3,3,3), G(0,4,2), AE//FG 证 ：如图所示, 建立空间直 角坐标系. // AE与FG不共线 几何法呢？ 例3 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正 方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的 中点， (1)求证：PA//平面EDB. A B C D P E X Y Z G 解1 立体几何法 A B C D P E X Y Z G 如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG 解法2 A B C D P E X Y Z 解3：如图所示建立空间直角坐标系， 点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明： 设平面EDB的法向量为 A B C D P E X Y Z 解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明： 解得 x＝－２,ｙ＝１ A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F 是BB1,，CD中点，求证：D1F 例4 正方体 中，E、F分别 平面ADE. 证明：设正方体棱长为1， 为单位正交基底，建立如图所示坐标系D-xyz， 所以 ,E是AA1中点， 例5 正方体 平面C1BD. 证明： E 求证：平面EBD 设正方体棱长为2, 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E(0,0,1) D(0,2,0) B(2,0,0) 设平面EBD的一个法向量是 平面C1BD. 平面EBD A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F CD中点，求证：D1F 练习.在正方体 中，E、F分别是BB1,， 平面ADE 所以
