数学归纳法的复习课[上学期]

课件24张PPT。数学归纳法一数学归纳法:1.适应范围:某些与正整数有关的数学命题.2.数学归纳法的解题步骤：(3)下结论:由以上可知对于n取第一个值 后面的所有正整数也都成立.象这种证明方法叫数学归纳法．注意:用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可.3.数学归纳法的应用：（1）恒等式（2）不等式（3）三角方面（4）整除性（5）几何方面（6）计算、猜想、证明2k+1热身练习３、用数学归纳法证明： 在验证n=1成立时，左边计算所得的结果是（ ） A．1 B. C． D. CC４.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: 例1.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么？ 证明： (1) 当n=1时,左边= , 右边= ,等式成立. (2) 假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时, 左边 =右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 2.用数学归纳法证明 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 证明:2)假设n=k时命题成立,即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝1)当n=1时，左边=1×2=2,右边= =2. 命题成立例2、已知数列{an}中，a1= ,其前n项和Sn满足： (n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，猜想Sn，并证明。当n=k+1时： ak+1=Sk+1-Sk=S k+1+ +2 ? 略解：S1=a1= ,S2= ,S3= ,S4= .猜想：Sn= 。证明：1）n=1时由前可知，公式成立。 2）假设当n=k(k∈N?)时有：Sk= ,∴当n=k+1时公式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N?公式均成立。例3:是否存在常数a、b,使得等式: 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.分析:对这种类型的题目,一般先利用n的特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立.解:令n=1,2,并整理得以下用数学归纳法证明: (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时,故当n=k+1时,结论也正确.根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.证明：例4、∴ 当n=k+1时，不等式仍成立。由1）、2）可知，对一切n∈N ，原不等式均成立。?例5:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小注：先猜想，再证明解：当n=1时，2n=2,n2=1, 2n>n2 当n=2时，2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时，2n=8,n2=9, 2nn2 当n=6时，2n=64,n2=36, 2n>n2 猜想当n≥5时，2n>n2(证明略) 例６ 用数学归纳法证明： 34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16， ∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52 ＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1 ＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵ (34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除， ∴ 34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立． 根据(i)、(ii)可知, 34n+2＋52n+1能被14整除．练习：求证an+1＋(a＋1)2n-1能被a2＋a＋1整除 (其中a＞0，且a≠1)。 证明? (1)当n＝1时，an＋1＋(a＋1)2n-1=a2＋a＋1能被a2＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。 (2)假设n=k时，ak+1＋(a＋1)2k-1 能被a2＋a＋1整除，那么当n＝k+1时，ak+2＋(a＋1)2k＋1＝a·ak+1＋(a＋1)2(a＋1)2k-1 ＝a［ak+1＋(a＋1)2k-1］＋(a＋1)2(a＋1)2k-1-a(a+1)2k-1 ＝a[ak+1＋(a＋1)2k-1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k-1 由归纳假设知，ak+1＋(a＋1)2k-1能被a2＋a＋1整除。 故ak+2＋(a＋1)2k+1能被a2＋a＋1整除。 由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。 例8:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.说明:用数学归纳法证明几何问题,重难点是处理好当n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立. n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 f (1)=0 f (2)=1 f (3)=3 f (4)=6 f (5)=10猜想：f (1)=0 ... ...