高中数学(新RJ·A)必修第二册6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 同步学案+练习（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 学习目标 把握航向 目的明确 1.掌握平面向量数乘运算的坐标表示. 2.理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 3.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线. 重点：向量数乘运算的坐标表示． 难点：对向量数乘运算的坐标表示的理解． 知识梳理 回顾教材 夯实基础 知识点一　平面向量数乘运算的坐标表示 已知a＝(x，y)，则λa＝(λx，λy)，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点二　平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.则a，b共线的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线. 注意点： (1)a＝λb，其中a为任意向量，b≠0； (2)向量共线的坐标形式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减； (3)x1y2－x2y1＝0这个式子也可以写成＝(x2y2≠0)或＝(x1y1≠0)或＝(y1y2≠0) 或＝(x1 x 2≠0)，这几个式子的优点在于通过看两向量的横、纵坐标之比是否相等，即可判断两向量是否共线，应注意先判断分母之积是否为零. 知识点三　向量共线的正确理解 已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a//b(b≠0) a＝λb，这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系； (2)x1y2－x2y1＝0这是代数运算，用它解决向量共线的优点是不需要引入参数“λ”，从而使问题的解决具有代数化、程序化的特点. 典例讲解 题型探究 重点突破 题型一 平面向量数乘运算的坐标表示 例1　(1)已知向量a＝(1，2)，2a＋b＝(3，2)，则b等于(　　) A.(1，－2) B.(1，2) C.(5，6) D.(2，0) 答案：A 解析：b＝2a＋b－2a＝(3，2)－(2，4)＝(1，－2). (2)已知向量＝(2，4)，＝(0，2)，则等于(　　) A.(－2，－2) B.(2，2) C.(1，1) D.(－1，－1) 答案：D 解析：＝(－)＝(－2，－2)＝(－1，－1). 反思感悟：平面向量坐标运算的技巧：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行；(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算；(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 跟踪训练1　已知a＝(－1，2)，b＝(2，1)，求： (1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 解：(1)2a＋3b＝2(－1，2)＋3(2，1)＝(－2，4)＋(6，3)＝(4，7). (2)a－3b＝(－1，2)－3(2，1)＝(－1，2)－(6，3)＝(－7，－1). (3)a－b＝(－1，2)－(2，1)＝－＝. 题型二 向量共线的判定 例2　下列各组向量中，共线的是(　　) A.a＝(－2，3)，b＝(4，6) B.a＝(2，3)，b＝(3，2) C.a＝(1，－2)，b＝(7，14) D.a＝(－3，2)，b＝(6，－4) 答案：D 解析：A选项，(－2)×6－3×4＝－24≠0，∴a与b不平行；B选项，2×2－3×3＝4－9＝－5≠0，∴a与b不平行；C选项，1×14－(－2)×7＝28≠0，∴a与b不平行；D选项，(－3)×(－4)－2×6＝12－12＝0，∴a∥b. 反思感悟：向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配. 跟踪训练2　下列各组向量中，能作为平面内所有向量基底的是(　　) A.e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B.e1＝(－1，2)，e2＝(5，7) C.e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D.e1＝(2，－3)，e2＝ 答案：B 解析：A选项，∵e1＝0，e1∥e2，∴不可以作为基底；B选项，∵－1×7－2×5＝－17≠0，∴e1与e2不共线，故可以作为基底；C选项，3×10－5×6＝0，e1∥e2，故不可以作为基底；D选项，2×－(－3)×＝0，∴e1∥e2，不可以作为基底. 题型三 利用向量共线的坐标表示求参数 例3　(1)已知向量a＝(2，6)，b ... ...