第2章 四边形 2.6 菱 形 第2课时 菱形的判定 基础过关全练 知识点2 菱形的判定 1.在一组对边平行的四边形中,增加条件,使得这个四边形是菱形,那么增加的条件可以是 ( ) A.另一组对边相等,对角线相等 B.另一组对边相等,对角线互相垂直 C.另一组对边平行,对角线相等 D.另一组对边平行,对角线相互垂直 2.(2022江苏南京期中)如图,在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD,AC平分∠BAD.求证:四边形ABCD是菱形. 3.【教材变式·P70T3变式】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,点D、F分别是AC、AB的中点,CE∥DB,BE∥DC. (1)求证:四边形DBEC是菱形; (2)若CE=13,AF=12,求BC的长. 能力提升全练 4.(2022广西防城港期中,11,)菱形的周长为24 cm,两个相邻的内角度数之比为1∶2,则较短的对角线的长度是 ( ) A.6 cm B.5 cm C. cm D.12 cm 5.(2022广东广州期中,10,)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点P是对角线BD上一点,过点P作PE⊥AB,PF⊥AD,垂足分别是点E、F,若OA=4,S菱形ABCD=24,则PE+PF的值为 ( ) A. B.3 C. 6.(2022上海青浦平和双语学校期中,15,)如图,菱形ABCD的对角线相交于点O,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE,若∠E=70°,则 ∠OBC= . 7.(2022北京中考,21,)如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,点E,F在AC上,AE=CF. (1)求证:四边形EBFD是平行四边形; (2)若∠BAC=∠DAC,求证:四边形EBFD是菱形. 8.【学科素养·几何直观】(2021湖南岳阳中考,19,)如图,点E,F分别在 ABCD的边AB,BC上,AE=CF,连接DE,DF.请从以下三个条件:①∠1=∠2;②DE=DF;③∠3=∠4中,选择一个合适的作为已知条件,使 ABCD为菱形. (1)你添加的条件是 (填序号); (2)添加了条件后,请证明 ABCD为菱形. 9.(2022湖南师大附中博才实验中学期中,23,)如图,已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,AO=OC,OB=OD且∠1=∠2. (1)求证:四边形ABCD是菱形; (2)E为AO上一点,连接BE,若AE=4,AB=6,EB=2,求AO的长. 素养探究全练 10.【推理能力】在复习菱形的判定和性质时,王老师提出这样一个问题: 将一个长、宽分别为40 cm和30 cm的矩形ABCD剪成一个菱形并求其面积. 以下是两位同学的想法: 小明的想法是取矩形各边的中点E、F、G、H,连接EF、FG、GH、HE、HF、GE,则四边形EFGH是菱形,如图①,则四边形EFGH的面积是×40×30=600(cm2); 小刚的想法是沿矩形ABCD的对角线AC折叠,AB上的点F与DC上的点E重合,展开矩形,连接AE、CF得到四边形AFCE,如图②,四边形AFCE是菱形吗 它的面积是多少 图① 图② 答案全解全析 基础过关全练 1.D 增加选项A、B、C中的条件不能得到该四边形是菱形,增加选项D中的条件能得到该四边形是菱形.故选D. 2.证明 ∵OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD, ∴∠BAC=∠ACD,∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠DAC,∴∠ACD=∠DAC,∴AD=CD, ∴四边形ABCD是菱形. 3.解析 (1)证明:∵CE∥DB,BE∥DC, ∴四边形DBEC是平行四边形, ∵∠ABC=90°,点D是AC的中点, ∴BD=AC=CD, ∴四边形DBEC是菱形. (2)∵点D是AC的中点,∴AD=CD, ∵四边形DBEC为菱形,∴CD=CE, ∴AD=CD=CE=13,∵点D、F分别是AC、AB的中点, ∴DF是△ABC的中位线, ∴DF∥BC,BC=2DF,∵∠ABC=90°,∴∠AFD=90°, ∵AF=12,∴DF==5, ∴CB=2DF=10. 能力提升全练 4.A ∵菱形的周长为24 cm,∴菱形的边长为6 cm, ∵菱形中两个相邻的内角的度数之比为1∶2, ∴较小的内角为60°, ∴较短的对角线的长度为2××6=6 cm. 5.D 如图,连接AP,∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,AC=2OA=8,BO=DO, ∵S菱形ABCD=24=AC·BD,∴BD=6,∴BO=3, ∴AB==5, ∵S△ABD=S菱形ABCD=S△ABP+S△ADP, ∴12=×5×PF, ∴PE+PF=. 6.20° 解析 ∵四边形ABCD是菱形,∴BC=DC,AB∥DC,∠ABD=∠CBD, ∴∠ABC=∠DCE, ∵CE=BC,∴CE=DC,∴∠E=∠CDE=70°, ∴∠EC ... ...
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