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课件网) §3 二倍角的三角函数公式 第四章 1.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形公式. 2.能够正确认识“二倍角”的含义，并熟练应用二倍角公式进行化简、求值及相关问题的证明. 3.理解并会推导半角公式. 核心素养：数学运算，逻辑推理. 学习目标 一、二倍角公式 新知学习 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令，便得到 .（S2α） （C2α） ＝ ＝ ＝.（T2α） 以上公式称为二倍角的正弦、余弦、正切公式，统称为二倍角公式. 名师点析 1.在公式S2α，C2α中，是任意角，但公式T2α中，只有当π+且π（），即+且（）时才成立. 2.要理解倍角公式与两角和（差）公式的内在联系，它们的内在联系如下： 3.角的二倍关系是相对的，如是的二倍角，是2的二倍角，是的二倍角， 是的二倍角等.（“倍”是用来描述两个数量之间关系的，蕴含着换元思想） 4.一般情况下， 5.二倍角公式的变形应用 （1）公式的逆用 ①S2α：，＝，＝. ②C2α：. ③T2α：＝，2. （2）配方变形 1±sin ＝. （3）因式分解变形 . （4）升幂公式 . （5）降幂公式 ＝；＝；＝. 二、半角公式 半角公式：＝±；cos＝±；＝±＝＝. 在这些公式中，根号前面的符号由所在象限相应的三角函数值的符号确定，若所在象限无法确定，则应保留根号前面的正、负两个符号. 一 利用倍角、半角公式求值 <1> 给角求值 例1 求下列各式的值： （1）-cos2； （2）； （3）sin 10°sin 50°sin 70°； （4）·. 典例剖析 思路点拨：（1）利用降幂公式直接求解；（2）先逆用二倍角正切公式，然后利用诱导公式求解； （3）注意多种方法的应用；（4）由式子结构，可运用＝和＝求解. 解：（1）原式＝＝＝-. （2）原式＝tan 300°＝tan（360°-60°）＝-tan 60°＝-. （3）（方法1）原式＝＝＝＝＝＝＝. （方法2）原式＝cos 20°cos 40°cos 80°＝＝＝＝＝. （方法3）令＝sin 10°sin 50°sin 70°，＝cos 10°cos 50°cos 70°， 则＝sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°＝sin 20°·sin 100°·sin 140° ＝cos 70°·cos 10°·cos 50°＝cos 10°cos 50°cos 70°＝. ∵ 0，∴ ＝，即sin 10°sin 50°sin 70°＝. （4）原式＝2··＝·tan 10°＝2. 反思感悟 反思感悟 给角求值的方法 （1）直接正用、逆用倍角及半角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可转化为特殊角的三角函数值问题. （2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用正、余弦函数关系配凑出使用倍角公式的条件，从而达到连用倍角公式的目的. （3）半角公式是倍角公式的变形，二者联系密切，公式较多，但有规律可循，注意熟记公式，合理选择. 跟踪训练 （1）下列各式的值为的是 （ ） A.2sin215°-1 B.cos215°-sin215° C.2sin 15°cos 15° D.sin215°+cos215° （2）1- 2cos267.5°＝（ ） A. B.- C. D.- （3）tan 15°+＝ . C C 4 <2> 条件求值 例2 已知cos＝，，求的值. 解题提示：（方法1）先求出sin，将所求式子化简整理为含与sin的表达式，再代入求解即可. （方法2）注意到分母为“”，联想到＝tan，而其中的角正是“”； （方法3）将所求式子先切化弦，再利用求解. 解：（方法1）∵，∴，∴. 又＝，∴＝. ∴＝＝＝＝ ＝＝＝＝. （方法2）＝＝sin ＝cos.① ∵，∴. ∵cos＝，∴＝-，∴＝-. 又-cos＝-cos＝-＝1-＝. 将上述结果代入①，得原式＝-＝-. （方法3）＝＝，① 由已知可得＝.② ∵，∴，∴ ＝，∴ ＝，③ ＝.④ 将②③④代入①，得原式＝＝. 反思感悟 反思感悟 （1）整体思想是三角函数求值中的 ... ...
