必修第四册 10.1 复数及其几何意义 一、选择题（共13小题） 1. 复数 的幅角主值是 A. B. C. D. 2. 瑞士数学家欧拉在 年得到复数的三角形式：（ 为虚数单位），根据该式，计算 的值为 A. B. C. D. 3. 的值域中元素有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 对任意复数 ，下列结论中，正确的是 A. B. C. D. 5. 已知 ，，，则“”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 复数 的三角形式是 A. B. C. D. 7. 方程 中，实数 的值为 A. 或 B. 或 C. D. 或 8. 在复平面内，复数 （）是纯虚数，则 A. 或 B. C. 且 D. 或 9. 若 ，则 的值为 A. B. C. D. 10. 已知复数 满足 ，则 最大值为 A. B. C. D. 11. 已知复数 的模为 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 12. 若复数 是纯虚数，则实数 的值为 A. 或 B. 或 C. D. 13. 若复数 满足 ，则 的最大值为 A. B. C. D. 二、填空题（共5小题） 14. 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为 ． 15. 复数 ． 16. 已知复数 （ 是虚数单位），则 的实部是 ． 17. 复数 的三角形式是 ． 18. 若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 最大值为 ． 三、解答题（共8小题） 19. 如图，复平面内的 是等边三角形，它的两个顶点 ， 的坐标分别为 ，，求点 的坐标． 20. 请回答下列问题． （1）求 ，，，，，，， 的值． （2）由（）推测 （）的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来． 21. 实数 取什么数值时，复数 是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 22. 设 ，求 的元素个数． 23. 将下列复数化为三角形式： （1）； （2）； （3）． 24. 解答题． （1）已知复数 ，， 的辐角主值依次成公差为 的等差数列，且 ，求证：． （2）若复数 ，， 满足 ，且 ，求证：复平面内以 ，， 所对应的点为顶点的三角形是内接于单位圆的正三角形． （3）已知非零实数 ，， 满足 ，复数 ，， 满足 ，且 ，求证：． 25. 求满足 且 的复数 ． 26. 根据条件，求复数 在复平面内的对应点轨迹的普通方程： （1）． （2）． （3），且 ． 答案 1. D 2. B 3. B 4. D 【解析】对于A，，故 A错；对于B，，故 B错；对于C，，故C错． 5. A 【解析】若 ，则 解得 或 ， 所以“”是“”的充分不必要条件． 6. B 【解析】． 7. C 8. B 9. D 【解析】由复数相等的充要条件知， 解得 所以 ． 所以 ． 10. D 【解析】因为 ，故 ，即 ． 又 的几何意义为 到 的斜率． 故当过原点的直线与 切于第一象限时 取得最大值． 此时设切线的倾斜角为 则 ，易得 ． 故 的最大值为 ． 故选：D． 11. D 【解析】因为 ，则复数 对应的轨迹是以圆心在原点，半径为 的圆，而 表示的是圆上一点到点 的距离， 所以其最大值为圆上点 到点 的距离，最大的距离为 ． 12. C 13. D 14. 【解析】所得向量对应的复数为 ，故虚部为 ． 15. 16. 【解析】，所以 的实部是 ． 17. 【解析】． 18. 【解析】据复数的几何意义可知，题中所给复数 在复平面内表示以点 为圆心、 为半径的圆上的点，从而 的最大值为 . 19. 由 ，得 对应的复数为 ， 又 可以看成是 绕点 按顺时针方向旋转 得到的，因此它对应的复数为 ． 由 ，得 对应的复数为 ． 所以点 的坐标是 ． 20. （1） （2） 对任意 ，有 ，，，． 21. （1） 由复数 是实数，得 ，解得 或 ． （2） 由复数 是虚数，得 ，解得 且 ． （3） 由复数 是纯虚数，得 解得 ． 22. 则 中的元素有 个． 23. （1） （2） （3） 因为 ， 所以 24. （1） 令 ，，． （2） 由 ，，可得 ， 于是可证得 ． （3） 令 ，，，， 则可得 平方相加得 ， 又由 得 ． 所以 ，得 ． 同理可得 ，于是 ． 25. 设 ． 由 ，即 ， 所以 ，得 ，所以 ． 又由 ，得 ，所以 ． 2 ... ...
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