解析几何中双切线问题的三大应用情境 情境1.圆的双切线模型及应用 圆的双切线模型是圆中常见的一类考题，由于其结论丰富，变化多端，颇受命题人的热爱，2020年的理数全国一卷的选择题11题就是一个典例应用. 对于圆的双切线，我的建议就是多推导，遇到最值就往切线长上转化！ 如图1，从圆外任一点向圆引两条切线，圆心，两切点，我们把线段的长度叫做切线长，设圆的半径为，则四边形具有如下的性质： 1.；. 2.切线长的计算：,当半径给定，切线长最小等价于最小. 3.四点共圆，的外接圆以为直径（托勒密定理）. 4.平分. 5.，当半径给定，四边形最小等价于最小. 6. 假设且.由基本的三角恒等关系可知：，故可得： .对使用均值不等式可得最小值. 图1 7.假设，圆的方程为（） 则切点弦的方程为：. 例1.（2020全国1卷）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 解析：综合考察性质3，5,7. 圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 例2.（2022深圳二模）P是直线上的一个动点，过点P作圆的两条切线，A，B为切点，则（ ） A．弦长的最小值为 B．存在点P，使得 C．直线经过一个定点 D．线段的中点在一个定圆上 解析：依题意，即，设，则为的中点，且， 所以，所以，，又， 所以，，所以，，故A正确，B不正确； 设，则，所以以为直径的圆的方程为， 则，即，所以直线的方程为，所以直线过定点，故C正确； 又，，所以的中点在以为直径的圆上，故D正确； 故选：ACD 情境2.圆锥曲线的双切线 1.知识要点.如何合理的处理双切线，我总结如下：已知曲线外一点,向二次曲线引两条切线，设. 第1步：分别写出切线的方程（注意斜率）； 第2步：联立与曲线的方程，利用相切条件，得到代数关系①，②式从而以的或坐标为参数，进一步构造点横或纵坐标满足的同构方程方程③； 第3步：利用方程③根与系数的关系判断与曲线的位置关系，或完成其他问题. 常见案例1.彭赛列闭合 例3．已知抛物线C：，点. （1）设斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，若的面积为，求直线l的方程； （2）是否存在定圆M：，使得过曲线C上任意一点Q作圆M的两条切线，与曲线C交于另外两点A，B时，总有直线AB也与圆M相切？若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由. 解析：（1）直线的方程． （2）假设存在．取，圆，设切线为，由，解得，①，将直线代入抛物线方程，解得，， 直线的方程为，若直线和圆相切，可得② 由①得,由①②解得，．下证时，对任意的动点，直线和圆相切． 理由如下：设，当时,上面假设已经说明成立;当,一条切线与轴平行,不能与抛物线交于另一点,故,以下就且情况下证明.过的直线为， ，由，可得， ，， 又直线与曲线相交于 ，，由，代入抛物线方程可得，可得，，则，是方程的两根，即有，即，同理． 则有，， 直线， 即为，则圆心到直线的距离为 ，由， 代入上式，化简可得，则有对任意的动点，存在实数，使得直线与圆相切． 常见案例2：蒙日圆 曲线的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆. 证明：当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是，或. 当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点P的坐标是且，所以可设曲线的过点P的切线方程是 . 由，得 由其判别式的值为0，得 因为是这个关于的一元二次方程的两个根，所以 由此，得 例4.（2020成都三诊）．已知椭圆：的左焦点，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）经过圆：上一动点作椭圆的两条切线 ... ...
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