山东省济南外国语学校八年级奥术三级跳（2013数学冬令营培训材料）第一跳（分析试题）：第9讲 竞赛中整数性质的运用（30分钟训练+50分钟评讲）

第9讲 竞赛中整数性质的运用 【知识梳理】 1、完全平方数的末位数 若a是整数，则称为完全平方数。 定理1：完全平方数的末位数只能是0，1，4，5，6，9。 推论：凡末位数是2，3，7，8的自然数一定不是完全平方数。 定理2：奇数的平方的十位数字必是偶数。 推论：十位数字是奇数的完全平方数一定是偶数。 定理3：连续的10个自然数的平方和的末位数都是5。 2、连续自然数乘积的末位数 定理4：两个连续自然数乘积的末位数只能是 0，2，6；3个连续自然数乘积的末位数只能是0，4，6；4个连续自然数乘积的末位数只能是0，4；5个或5个以上连续自然数乘积的末位数都是0。 3、末位数的运算性质 定理5：两个自然数和的末位数等于这两个自然数末位数和的末位数；两个自然数乘积的末位数等于这两个自然数末位数乘积的末位数，即 ， ， 其中a和b都是自然数 利用末位数的性质，可以使一些看上去很困难的问题得以顺利解决。 4、数的整除的判定法则 （1）末两位数能被4（或25）整除的整数能被4（或25）整除。 （2）末三位数能被8（或125）整除的整数能被8（或125）整除。 （3）一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被11整除，则这个数能被11整除。 （4）奇位千进位的总和与偶位千进位的总和之差能被7或11或13整除，则这个数能同时被7，11，13整除。 5、带余除法 两个整数的和、差、积仍是整数，即整数中加、减、乘运算是封闭的，但用一非零整数去除另一整数，所得的商未必是整数。 一般地，a、b为两个整数，则存在惟一的整数对q和r，使得a＝bq＋r。 这里，特别是当，则称 当，则称b 不整除 a，q称为a被b除时所得的不完全商；r称为a被b除时所得的余数。 【例题精讲】 ◆例1：求的末位数。 【巩固】求的末位数。 ◆例2：n为怎样的自然数时，能被10整除？ 【拓展】今天是星期六，从今天起天后的那一天是星期几？ ◆例3：5个连续自然数的平方和能否是完全平方数？请证明你的结论。 【巩固】n是自然数，如果n＋20和n－21都是完全平方数，求n的值。 ◆例4：1999除以某自然数，其商为49，求除数和余数。 【巩固】甲、乙、丙三个数分别是312，27 0，211，用自然数A分别去除这三个数，除甲所得余数是乙所得余数的2倍，除乙所得余数是除丙所得余数的2倍，求这个自然数A。 ◆例5：若N＝是一个能被17整除的四位数，求x。 【巩固】已知一个七位自然数能被99整除，试求， ◆例6：试写出5个自然数，使得其中任意两个数中的较大的一个数可以被这两个数的差整除。(*) 【课后练习】 1、的末三位数是（ ） A、025 B、125 C、625 D、825 2、小于1000既不能被5整除，又不能被7整除的自然数的个数为（ ） A、658 B、648 C、686 D、688 3、已知两个三位数，和＋能被37整除，证明，六位数也能被37整除。 4、设N＝23x＋92y为完全平方数，且N不超过2392，求满足上述条件的一切正整数对9（x，y）共有多少对？ 5、试找出由0，1，2，3，4，5，6这7个数字组成的没有重复的七位数中，能被165整除的最大数和最小数。(*) ... ...