数学尖子生竞赛数学试题（四）（含解析）

数学尖子生竞赛数学试题（四） 学校:_____姓名：_____班级：_____考号：_____ 一、单选题 1．如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ） A． B． C． D． 2．向量，满足，，，则向量，的夹角是（ ） A． B． C． D． 3．设向量，满足，，则（ ） A．-2 B．1 C．-1 D．2 4．若平面向量与的夹角为， 则 A． B．． C．1 D．2 5． 是椭圆的左 右焦点，点为椭圆上一点，点在轴上，满足，若，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．在四边形中，，且，则（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，，且//，则实数的值是（ ） A． B． C． D． 8．在直角三角形ABC中，，点P是斜边AB上一点，且BP=2PA，则（ ） A． B． C．2 D．4 二、多选题 9．在中，点、、分别是边、和的中点，则（ ） A． B． C． D． 10．关于平面向量，下列说法不正确的是（ ） A．若，则 B． C．若，则 D． 11．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，且，则（ ） A．与能构成一组基底 B． C． D． 12．已知向量，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．的值为2 D． 三、填空题 13．已知向量，若向量共线，则的最大值为_____． 14．已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数_____. 15．若，的坐标为，则的坐标为_____. 16．已知向量，且，则m=_____. 四、解答题 17．已知向量，，角，，为的内角，其所对的边分别为，，. （1）当取得最大值时，求角的大小； （2）在（1）成立的条件下，当时，求的取值范围. 18．已知向量，. （1）当时，求的值； （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x的值. 19．已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，离心率，它与直线交于P、Q两点，若，求椭圆方程．为原点． 20．设数列的前项的积为，满足，，记 （1）证明：数列是等差数列； （2）记，证明： 21．已知抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为F，过引直线l交此抛物线于A，B两点. （1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率； （2）若p=2，点M在抛物线上，且，求t的取值范围. 22． 在中，、、分别为角、、所对的边，向量，，且. （I）求的值； （II）若，的面积为，求的周长. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 参考答案： 1．B 【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可. 【详解】 故选：B. 2．D 【分析】根据平面向量数量积的运算律求出，再根据夹角公式求出，从而得解； 【详解】解：因为，，，所以，即，即，所以，设与的夹角为，则，因为，所以； 故选：D 3．C 【分析】由平面向量模的运算可得：，①，②，则①②即可得解． 【详解】因为向量，满足，， 所以，① ，② 由①②得： ， 即， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平面向量模和数量积的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属基础题． 4．D 【详解】，故选D. 考点：向量的模 5．A 【分析】先由可解得，然后利用角平分线的性质可求得；在中利用余弦定理即可求出离心率的值. 【详解】由题意可设，，，（）； 则：， ， 由可得：，解得，即； 由可知是的角平分线， 可得：， 又，则； 在中：，解得； 故选：A 6．D 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且 是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形 为平行四边形， 设都是单位向量， ，则， ，，则 ，所以， 因此由知 ，且是的平分线，因此是菱形，而 ，∴， 故选：D. 7．D 【分析】根据向量的坐标运算和向量的平行关系来求参数即可. 【详解】由题可知， ，因为∥， 所以有 故选：D 8．D 【解析】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，计算得到答案. 【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，则，，， . 故选：D. 【点睛】本题考查了向量的数量积的计算，建立直角坐标系可以简化运算，是解 ... ...