【培优复习】2023年中考数学热门专题：二次函数的定点及定值问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2023年中考数学培优复习热门专题：二次函数的定点及定值问题 1．抛物线y＝ax2﹣4ax+3a（a＞0）交x轴正半轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴正半轴于C； （1）如图①，连接AC，BC，若△ABC的面积为3， ①求抛物线的解析式； ②抛物线上是否存在点P，使∠PCB+∠ACB≤45°？若存在，求出P点横坐标的取值范围； （2）如图②，若Q为B点右侧抛物线上的动点，直线QA、QB分别交y轴于点D，E，判断CD：DE的值是否为定值．说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求该二次函数的表达式； （2）连接BC，在该二次函数图象上是否存在点P，使∠PCB＝∠ABC？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E．若点Q为x轴上方二次函数图象上一动点，过点Q作直线AQ，BQ分别交直线l于点M，N，在点Q的运动过程中，EM+EN的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2+x+c（a＞0）与x轴交于A（﹣2，0），B（1，0）两点，与y轴负半轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点D是抛物线上第三象限内的一点，连接CD，若∠ACD为锐角，且tan∠ACD＜，求点D的横坐标xD的取值范围； （3）如图2，经过定点P作一次函数y＝kx+与抛物线交于M，N两点．试探究是否为定值？请说明理由． 4．如图，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0），B（3，0）两点，交y轴于点C， P是第一象限内抛物线上的一点且横坐标为m． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接AP，交线段BC于点D，若，求m的值； （3）如图2，已知抛物线的对称轴交x轴于点H，与直线AP，BP分别交于E、F两点．试问EH+FH是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由． 5．已知抛物线y＝﹣x2﹣2x+c． （1）如图1，当c＝16时，抛物线分别交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C． ①求出直线AC的解析式； ②点P在直线AC上方的抛物线上，作PD∥y轴，交线段AC于点D，作PE∥x轴，交抛物线于另一点E，若PE＝PD，求点P的横坐标； （2）如图2，若抛物线与x轴有唯一公共点F，直线l：y＝kx+b（k＞0，b＜0）与抛物线交于N、M两点（点N在点M的左边），直线MG⊥x轴，交直线NF于点G，且点G的纵坐标为4，求证：直线l过定点． 6．如图，平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+nx+4过点A（﹣4，0），与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A． （1）求抛物线解析式； （2）连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标； （3）过点T（t，﹣1）的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 7．如图，Rt△ABC的顶点A（﹣1，0），B（4，0），直角顶点C在y轴的正半轴上，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、B、C三点． （1）求抛物线的解析式； （2）动点P从点A出发以2个单位/s的速度沿AB向点B运动，动点Q从点C出发以个单位/s的速度沿CB向点B运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动，连接CP、PQ，当△CPQ的面积最大时，求点P的坐标及最大面积； （3）如图2，过原点的直线与抛物线交于点E、F（点E在点F的左侧），点G（0，4），设直线GE的解析式为y＝mx+4，直线GF的解析式为y＝nx+4，试探究：m+n是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由． 8．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线在第一象限内的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）若∠ACO+∠BCD＝45°，求点D坐标； （3 ... ...