【培优复习】2023年中考数学热门专题：圆中关于线段数量关系问题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2023年中考数学培优复习热门专题：圆中关于线段数量关系问题 1．如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在上，且不与点B，D重合），∠ACB＝∠ABD＝45° （1）求证：BD是该外接圆的直径； （2）连接CD，求证：AC＝BC+CD； （3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM2，AM2，BM2三者之间满足的等量关系，并证明你的结论． 2．问题探究 （1）在△ABC中，BD，CE分别是∠ABC与∠BCA的平分线． ①若∠A＝60°，AB＝AC，如图1，试证明BC＝CD+BE； ②将①中的条件“AB＝AC”去掉，其他条件不变，如图2，问①中的结论是否成立？并说明理由． 迁移运用 （2）若四边形ABCD是圆的内接四边形，且∠ACB＝2∠ACD，∠CAD＝2∠CAB，如图3，试探究线段AD，BC，AC之间的等量关系，并证明． 3．小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究． （1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE＝BE．请证明此结论； （2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE＝PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程； （3）如图3，PA．PB组成⊙O的一条折弦，若C是优弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明． 4．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点． （1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB． ①AD＝6，PD＝4，则AB＝　 　；PQ＝　 　； ②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB＝QD． 5．如图，点P是等边三角形ABC的AC边上的动点（0°＜∠ABP＜30°），作△BCP的外接圆⊙O交AB于D．点E是⊙O上一点，且＝，连结DE，BE，CE，且DE交BP于F． （1）求证：∠ADE＝∠BEC； （2）当点P运动变化时，∠BFD的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求∠BFD的度数； （3）探究线段BF，CE，EF间的数量关系，并证明． 6．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA延长线上一点，∠ACD＝∠B． （1）求证：DC为⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为5，sinB＝，求CD和AD的长； （3）在（2）的条件下，线段DF分别交AC，BC于点E，F且∠CEF＝45°，求CF的长． 7．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F． （1）求证：CE是⊙O的切线； （2）若AD＝DK，求证：AK AO＝KB AE； （3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想PA，PB，PF的数量关系，并证明． 8．如图，已知⊙O的半径为1，A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°． （1）△ABC的形状为 　 　； （2）试求线段PA、PB、PC之间的数量关系； （3）若点M是PC的中点，直接写出点P在⊙O上移动时BM的最小值． 9．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，D是AB上一动点，连接CD， 以CD为直径的⊙M交AC于点E，连接BM并延长交AC于点F，交⊙M于点G，连接BE． （1）如图1，当点D移动到使CD⊥BE时， ①连结DE，求证：BD＝AE． ②求BD：BC的值． （2）如图2，当点D到移动到使＝30°时，求证：AE2+CF2＝EF2． 10．（1）已知：如图1，△ABC是⊙O的内接正三角形，点P为弧BC上一动点，求证：PA＝PB+PC； （2）如图2，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，点P为弧BC上一动点，求证：； （3）如图3，六边 ... ...