人教B版（2019）必修第三册《8.1 向量的数量积》提升训练 一 、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）已知向量，，则函数在上的所有零点之和为 A. B. C. D. 2.（5分）如图，在中，，，为的中点，，则 A. B. C. D. 3.（5分）已知正的边长为，，分别在轴，轴的正半轴含原点上滑动，则的最大值是 A. B. C. D. 4.（5分）已知，，，若，则最大值为 A. B. C. D. 5.（5分）在平面内，点，，分别在直线、、上，且在与之间，与间距离为，与之间距离为，且，则的面积最小值为 A. B. C. D. 6.（5分）若，，则的坐标是 A. B. C. D. 以上都不对 7.（5分）在平面直角坐标系中，已知成，，若，则实数的值为． A. B. C. D. 8.（5分）已知向量，，若，则的值为 A. B. C. D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）已知平面向量，则下列命题中正确的有 A. B. C. D. ， 10.（5分）若，是任意的非零向量，则下列叙述正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则存在实数，使得 11.（5分）已知是所在平面内一点，则下列说法正确的是 A. 若，则是的重心 B. 若向量，且，则是正三角形 C. 若是的外心，，，则的值为 D. 若，则：：：： 12.（5分）设是任意的非零平面向量，则下列结论中正确的有 A. B. C. 与垂直 D. 13.（5分）已知点，，，以下点的坐标能使得以为顶点的四边形为平行四边形的有 A. B. C. D. 三 、填空题（本大题共5小题，共25分） 14.（5分）已知平面向量，的夹角为，，，则_____． 15.（5分）已知，，若，则_____. 16.（5分）在中，已知，，，为边的中点，点是上的点，则的最小值是_____． 17.（5分）已知平面向量，则向量与向量的夹角为 _____ ． 18.（5分）已知向量，，若，则实数_____. 四 、解答题（本大题共5小题，共60分） 19.（12分）已知，，，求 与的夹角． 与的夹角的余弦值． 20.（12分）已知，， 求； 求与的夹角； 若在方向上的投影向量为，求的值． 21.（12分）如图所示，在中，，，是边上的中线，且交于，设，． 用，分别表示向量，； 设，，，均为单位向量，求的值． 22.（12分）已知向量与的夹角为，， 求； 若，求实数的值. 23.（12分）在中，角，，的对边分别为，，． 若，且，求的面积； 设向量，，且，，求的取值范围． 答案和解析 1.【答案】A; 【解析】解： ， 令，则， ，， 或，或， 在上所有零点之和为． 故选：． 根据向量坐标的数量积运算，两角和差的正余弦公式，二倍角的正余弦公式即可得出，然后令即可得出，根据的范围即可求出的值，即可得出的零点的和． 该题考查了向量坐标的数量积的运算，两角和差的正余弦公式，二倍角的正余弦公式，考查了计算能力，属于基础题． 2.【答案】D; 【解析】解：在中，，，为的中点，， ，， 则 故选： 利用已知条件，转化数量积的两个向量为，向量的线性关系，然后求解即可． 此题主要考查向量的数量积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 3.【答案】B; 【解析】解：设，则， ，， 点，由此可得点 可得： ， 因为，所以， 所以， 则的最大值： 故选： 设，则，，求得点，点的坐标，进而求解，然后求解最大值． 此题主要考查两个向量的数量积的运算，求得点的坐标，利用数量积公式以及三角函数式化简，是解题的难点和关键，属于中档题． 4.【答案】C; 【解析】解：，，，即． 设，，则， ，，化简整理得，， 令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆． ， 当、与三点共线位于和的中间，且点在的延长线上时， 最大，为． 故选：． 由平面向量数量积的定义可知，设，，则，结合平面向量数量积的坐标运算和，可得，若令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，于是当、与三点共线位于和的中间，且点在的延长线上时，最大，为，从而得解． ... ...
