2023届高考数学解答题专练：平面向量 （共10题） 一、解答题（共10题） 已知长方形 ，，， 为线段 的中点， 为线段 上一点． (1) 利用向量知识判断点 在什么位置时，； (2) 若 ，求证：，，， 四点共圆． 已知点 是 的重心，点 在线段 上，且 ． (1) 用 和 表示 ； (2) 用 和 表示 ． 设两个非零向量 与 不共线． (1) 若 ，，，求证：，， 三点共线； (2) 试确定实数 ，使 和 同向． 如图，已知 的两边 ， 的中点分别为 ，，在 的延长线上取点 ，使 ，在 的延长线上取点 ，使 ，用向量方法证明：，， 三点共线． 如图，三棱锥 各棱的棱长都是 ，点 是棱 的中点，点 在棱 上，且 ，记 ，，． (1) 用向量 ，， 表示向量 ； (2) 求 的最小值． 已知三点 ，，，向量 ，向量 ，求证：向量 ． 设 ， 是两个不共线的向量，，，．若 ，， 三点共线，求 的值． 已知 为 的重心，过点 的直线与边 ， 分别相交于点 ，．若 ， 与 的面积之比为 ，求实数 的值． 已知 ，，， 分别是空间四边形 的边 ，，， 的中点． (1) 求证：，，， 四点共面； (2) 求证：； (3) 设 是 和 的交点，求证：对空间任一点 ，有 ． 如图，平行四边形 中，，，，点 ， 分别为 ， 边的中点， 与 相交于点 ，记 ，． (1) 以 为一组基，写出向量 的分解式； (2) 若 ，求实数 的值． 答案 一、解答题（共10题） 1. 【答案】 (1) 如图，建立平面直角坐标系， 则 ，，， 设 ， 所以 ，， 所以 ，，， 所以 ， 解得 ， 所以点 为线段 上靠近点 的三等分点． (2) 连接 ，当 时，由（）知 ， 所以 ，， 所以 ， 所以 ， 又 ， 所以 ，，， 四点在以 为直径的圆上，即 ，，， 四点共圆． 2. 【答案】 (1) 设 的中点为 ，则 ， 所以 ， 因为 为 的重心， 所以 ． (2) 因为 ， 所以 ， 所以 ． 3. 【答案】 (1) 因为 ，，， 所以 所以 ， 共线． 又因为 ， 有公共点 ， 所以 ，， 三点共线． (2) 因为 与 同向， 所以存在实数 ，使 ，即 ． 所以 ． 因为 ， 是不共线的两个非零向量， 所以 解得 或 又因为 ， 所以 ． 4. 【答案】设 ，， 则 ，， 所以 ，即 ． 又因为 ， 有一个公共点 ， 所以 ，， 三点共线． 5. 【答案】 (1) (2) 三棱锥棱长都为 ，故 ，， 故当 时， 取得最小值，且 ． 6. 【答案】 ，， 则点 坐标为 ， ，， 则点 坐标为 ， 则 ，， 由 知 ． 7. 【答案】因为 ， 若 ，， 三点共线，则 与 共线， 所以设 ，即 ， 由 与 不共线，可得 故 ，． 8. 【答案】设 ， 因为 ，， 三点共线， 所以可设 ， 所以 ， 因为 为 的重心，所以 ， 所以 ， 所以 两式相乘得 因为 ， 所以 ②代入①即 ，解得 ， 即 ． 9. 【答案】 (1) 如图，连接 ， 则 由共面向量定理的推论知 ，，， 四点共面． (2) 因为 又 ，，， 不在同一条直线上， 所以 . 又因为 ，， 所以 ． (3) 找一点 ，并连接 ，，，，，，，如图所示． 由（）知 ， 同理 ， 所以 ， 所以四边形 是平行四边形． 所以 ， 交于一点 且被 平分． 故 10. 【答案】 (1) 由题图可知 ． (2) 因为 ， 与 共线， 所以设 ， 则 ， 又 ， 且 ， 所以 ， 即 ， 则 解得 所以 ． ... ...
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