人教B版（2019）必修第四册《11.4 空间中的垂直关系》提升训练 一 、单选题（本大题共8小题，共40分） 1.（5分）如图，在三棱柱中 ，底面且为正三角形 ，为的中点 ，则二面角的余弦值为 A. B. C. D. 2.（5分）如图，在正方体，若点为上的一动点，则直线一定垂直于 A. B. C. D. 3.（5分）已知正方体棱长为，点在棱上，满足，过点的平面与垂直，则平面截正方体所得截面面积为 A. B. C. D. 4.（5分）如图所示，四边形为菱形，四边形为正方形，平面平面，，，若二面角的大小为，则 A. B. C. D. 5.（5分）在各棱长均为相等的直三棱柱中，已知是棱的中点，是棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 6.（5分）如图，在正方体中，为底面的中心，则与上底面所成角的正切值是 A. B. C. D. 7.（5分）正方体中，已知点、分别为棱与的中点，则直线与直线所成的角为 A. B. C. D. 8.（5分）正三棱柱中，，，，则异面直线与成角余弦值为 A. B. C. D. 二 、多选题（本大题共5小题，共25分） 9.（5分）在如图所示的棱长为的正方体中，点在侧面所在的平面上运动，则下列命题中正确的为 A. 若点总满足，则动点的轨迹是一条直线 B. 若点到点的距离为，则动点的轨迹是一个周长为的圆 C. 若点到直线的距离与到点的距离之和为，则动点的轨迹是椭圆 D. 若点到直线与直线的距离相等，则动点的轨迹是双曲线 10.（5分）在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，，，则 A. 当时， B. 当时，异面直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积的最大值为 D. 不论取何值，都有 11.（5分）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，为垂足，则 A. 平面 B. 为三棱锥的外接球的直径 C. 三棱锥的外接球体积为 D. 三棱锥的外接球体积与三棱锥的外接球体积相等 12.（5分）如图，正方体的棱长是，下列结论正确的有 A. 直线 与平面所成的角为 B. 到平面距离为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 三棱锥中三个侧面与底面均为直角三角形 13.（5分）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，底面，为的中点则下列叙述中正确的是 A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成的角是 D. 直线与底面所成的角的正切值是 三 、填空题（本大题共5小题，共25分） 14.（5分）如图，正方体的棱长为，为中点，连接，，则异面直线和所成角的余弦值为_____． 15.（5分）设分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题： ①三棱锥的体积为定值；②异面直线与所成的角为； ③平面；④直线与平面所成的角为 其中正确的命题为_____. 16.（5分）在正方体中，，分别为棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____. 17.（5分）我国古代数学名著九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为_____． 18.（5分）正方体的棱长为，则异面直线与所成角的余弦值是_____ ，该正方体的外接球半径为_____. 四 、解答题（本大题共5小题，共60分） 19.（12分）已知是底面为正方形的直四棱柱，且，，求： 异面直线与所成的角的余弦值； 四面体的体积． 20.（12分）如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点． Ⅰ求证：； Ⅱ已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 21.（12分）如图，在三棱柱中，，，分别是的中点． 求证：平面； 若，求证：平面平面 22.（12分）如图，四面体中，是的中点，点在上，平面，平面与平面的交线为，，，证明： ； 平面平面 23.（12分）在四棱锥中，底面是边长为的正 ... ...
