江苏省南京市中华中学2015届高三期初调研考试数学试题

南京市中华中学2015届高三期初调研考试 第Ⅰ卷（必做题 共160分） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1．复数的模为 ． 2．已知全集，函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，则集合 ． 3．的值为 ． 4．已知命题p：，使；命题q：，都有．给出下列命题：（1）命题“”是真命题；（2）命题“”是假命题；（3）命题“”是真命题；（4）命题“”是假命题．其中正确的是 （填序号）． 5．右图的程序框图输出的结果S等于 ． 6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差 ． 7．在△ABC中，，，，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为 ． 8．若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则 ． 9．已知向量，，满足，且与的夹角为，，则与的夹角为 ． 10．已知a，b，x是实数，函数与函数的图像不相交，记参数a，b所组成的点的集合为A，则集合为A表示的平面图形的面积为 ． 11．已知数列满足，，则 ． 12．圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程为 ． 13．定义在R上的奇函数对任意都有，当时，，则 ． 14．定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函数，，的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 ． 二、填空题：本大题共6小题，共计70分． 15．（本小题满分14分） 已知函数． （1）求的值； （2）设，若，求的值． 16． （本题满分14分）如图，在四棱锥中， 为正三角形，. （1）求证：； （2）若，分别为线段的中点， 求证：平面平面. 17．（本小题满分14分） 给定椭圆C：()．称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其短轴上的一个端点到点F的距离为． （1）求椭圆C的方程和其“准圆”方程； （2）点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线，，使得，与椭圆C都只有一个交点，试判断，是否垂直，并说明理由． 18．（本小题满分16分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%． （1）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数模型的基本要求，并分析函数是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由； （2）若该公司采用函数模型作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值． 19．（本小题满分16分） 设数列的前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）在数列的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列；和两项之间插入n个数，使这个数构成等差数列，求的值； （3）对于（2）中的数列，若，求（用n表示）． 20．（本小题满分16分） 已知函数（为常数），其图象是曲线． （1）当时，求函数的单调减区间； （2）设函数的导函数为，若存在唯一的实数，使得与同时成立，求实数的取值范围； （3）已知点为曲线上的动点，在点处作曲线的切线与曲线交于另一点，在点处作曲线的切线，设切线的斜率分别为．问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第Ⅱ卷（附加题 共40分） 21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题作答．若多做，则按作答的前两题评分． A．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，是的一条直径，是上不同于的两点，过作的切线与的延长线相交于点，与相交于点，． （1）求证：； （2）求证：是的角平分线． B．（本小题满分10分）选修4—2：矩阵与变换 若二阶矩阵满足． （1）求二阶矩阵； （2）把矩阵所 ... ...