竞赛专题：梅涅劳斯定理专项练习 1．设，，分别是的，，上的点．若，证明：，，交于一点． 2．锐角中，，、分别是、边上的高，过作的垂线交于，交的延长线于，过作的垂线，交于，交的延长线于，证明：、、三条直线相交于一点． 3．如图，直线和上各有三个点，，和，，，和交于点，和交于点，和交于点，求证：，，三点共线． 4．如图所示，已知，分别是的边，上的点，，交，，交于，过作的平行线，交，，于，，，求证：． 5．如图，的垂心为，于，点在的外接圆上，且满足，直线交外接圆于点．求证：． 6．设在锐角三角形的各边上向外作等边三角形，，． （1）求证：． （2）求证：，，三线交于一点． （3）设为内的任意一点，证明：． 7．梅涅劳斯定理： 梅涅劳斯是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与的三边，，或它们的延长线交于、、三点，那么一定有． 下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程： 证明：如图（2），过点作，交的延长线于点，则有． 任务：（1）请你将上述材料中的剩余的证明过程补充完整； （2）如图（3），在中，，，点为的中点，点在上，且，与交于点，则 ． 8．由线段垂直平分线的性质定理及逆定理很容易证明三角形的垂直平分线交于同一点（此结论可作为已知使用）， （1）请证明：锐角三角形的三条高线交于一点，如图①，锐角三角形中，，，是三条高，求证：，，交于同一点； （2）如图②，在平行四边形中，，垂足为，，垂足为，，垂足为，，交于点，若，，求的长． 9．在凸四边形的两条对角线上和上各取两点、和、使得，，设、、、中点分别为、、、，求证：、、、四点共线． 10．梅涅劳斯定理是古希腊数学家梅涅劳斯首先证明的．它指出，如果一条直线与的三条边、、（或其延长线）分别交于、、，则有．解答以下两个问题： （1）如图1所示，，为中点，点在上，，点在的延长线上，求的长． （2）如图2所示，等腰直角三角形中，，是中点，在上，，连接、，求证：． 11．如图，中，，点和点在，边上，且．为线段上一点，使得，的延长线交于点，延长交于点，过作的平行线交于点，交于点，为延长线上一点，且满足，连接．求证：． 答案版： 1． 【解答】证明：如图，设与交于，连，交于． 由定理1有．而， 所以． 于是与重合， 故，，交于一点． 2． 【解答】解：证法1：设过、的垂线分别交于、，设与的延长线交于．在与中，由射影定理得：， 又，， 在与中，由面积关系得：， 由（1）（2）得：，、、三点共线，即、、三条直线相交于一点． 证法2：设、相交于点，则为的垂心，记、、与的交点分别为、、，设与的延长线交于． 由合比定理得：，，即、、三条直线相交于一点． 证法3：在中，直线分别交、、于、、，设与的延长线交于．由梅涅劳斯定理得： 设、相交于点，则为的垂心， 、 由梅涅劳斯定理的逆定理得：、、三点共线． 证法4：连接交于，易知 为了证明、、三点共线，只需证明即可 又 ， 、，、、、四点共圆 （2） 又，（3） 将（2）（3）代入（1）得：，故、、三点共线，即、、三条直线相交于一点． 3． 【解答】解：设直线与相交于点，连接、， 过点作于，过点作于点， ，， 则△△， ， 则； 过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， 同理可得：，， ①， 设直线与相交于点，连接、， 、共边， 同理可得：； 同理可得：②， ①②得：， ， 即， ， 、重合于点， 、、共线． 4． 【解答】解：过点作，交于点， ， ， ， 对于及截线，由梅捏劳斯定理可得： ， ， 由梅捏劳斯定理可知：、、共线， ， ． 5． 【解答】证明：作高，．连接、、、、． ① ② 由①②得：， 又， ， 点、、、四点共圆，即点、、、、五点共圆， 又为直径 ... ...
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