人教B版（2019）必修四10.2复数的运算 （共19题） 一、选择题（共11题） 设 为虚数单位，复数 ，，则 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 复数 A． B． C． D． 设复数 满足 ，则 A． B． C． D． 已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则 A． B． C． D． 已知 ，复数 ，则 A． B． C． D． 已知复数 ，，，它们在复平面 上所对应的点分别为 ，， ,若 ,其中 为原点， 为虚数单位，则 的值是 A． B． C． D． 设复数 （ 为虚数单位）， 的共轭复数是 ，则 等于 A． B． C． D． 已知 为虚数单位，若复数 是虚部为 ，则 A． B． C． D． 若 （），则 的值为 A． B． C． D． 已知复数 ，，则 在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 若复数 满足 ，则复数 的虚部为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 已知 ，其中 ， 是实数， 是虚数单位，则 ． 为虚数单位，复数 ． 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数 的值为 ． 已知复数 ，，若 为纯虚数，则实数 ． 三、解答题（共4题） 已知 ，解方程 ． 已知复数 满足 ， 的虚部为 ． (1) 求复数 ； (2) 设 ，， 在复平面上的对应点分别为 ，，，求 的面积． 设 为关于 的方程 ， 的虚根， 为虚数单位． (1) 当 时，求 ， 的值； (2) 若 ，在复平面上，设复数 所对应的点为 ，复数 所对应的点为 ，试求 的取值范围． 设 ，且 ． (1) 已知 ，求 的值； (2) 设 与 均不为零，且 .若存在 ，使得 ，求证：； (3) 若 ，．是否存在 ，使得数列 ，， 满足 （ 为常数，且 ）对一切正整数 均成立？若存在，试求出所有的 ；若不存在，请说明理由． 答案 一、选择题（共11题） 1. 【答案】C 【解析】 ， 在复平面内对应的点为 位于第三象限． 2. 【答案】D 3. 【答案】C 4. 【答案】D 【解析】因为 与 互为共轭复数， 所以 ， 所以 ，， 所以 ． 5. 【答案】A 【解析】复数 ， 所以 ，， 则 ． 故选：A． 6. 【答案】A 【解析】由题意可得， , 则 解得 所以 . 7. 【答案】C 【解析】由题意可得 ，故选C． 8. 【答案】B 【解析】因为 的虚部为 ， 所以 ， 则 ， 故选B． 9. 【答案】A 【解析】由复数相等的充要条件知， 解得 所以 ，所以 ． 10. 【答案】D 【解析】由 ，，得 ，在复平面内对应的点位于第四象限． 11. 【答案】D 【解析】因为 ， 所以 ，虚部是 ． 二、填空题（共4题） 12. 【答案】 【解析】因为已知 ，所以 ，即 ， 所以 所以 ，，则 ． 13. 【答案】 【解析】 ． 14. 【答案】 【解析】由复数的运算可知 ， 是纯虚数，则其实部必为零，即 ， 所以 ． 15. 【答案】 【解析】由 ，，得 ， 因为 为纯虚数， 所以 ，解得 ． 三、解答题（共4题） 16. 【答案】设 ， 所以 ， 由复数相等的条件得，， 得 ，， 所以 ． 17. 【答案】 (1) 设 ，则 解得 或 所以 或 ． (2) 由（）知， 时，，， 所以 ，，， 所以 ． 当 时，，， 所以 ，，， 所以 ． 18. 【答案】 (1) 由已知可得 ， 均为关于 的方程 的虚根， 故由韦达定理，得 即 (2) 依题意得 也是方程 的虚根， 所以 ，即 ， 因此， 为圆 上的点， 由复数几何意义可知 ，， 从而， 的取值范围是 ． 19. 【答案】 (1) 设 ，则 ． 若 ，则 ， 由已知条件可得 ， 因为 ， 所以 解得 所以 ． 若 ，则 ，由已知条件可得 ， 因为 ， 所以 解得 但 ，故 舍去． 综上，得 ． (2) 令 ，则 ． 假设 ，即 ， 因 ，故 ， 于是 即 ， 即 ， 故数列 单调递增． 又 ，故 ，即 ， 于是 ． 所以，对任意的 ，均有 ，与题设条件矛盾． 因此，假设不成立，即 成立． (3) 设存在 满足题设要求， 令 ，． 易得对一切 ，均有 ， 且 （i）若 ，则 显然为常数数列，故 满足题设 ... ...
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