1.7 平面向量的应用举例 学案（含答案）

平面向量的应用举例 学习目标 1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题． 2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法． 3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤． 新知导入 1．物理学中的量与向量的关系 (1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量. (2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法． 2．用向量方法解决平面问题的“三步法” 课堂练习 1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”． (1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　) (2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　) (3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．(　　) (4)功是力F与所产生的位移s的数量积．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是(　　) A．梯形　　　　　　 B．菱形 C．矩形 D．正方形 解析：由＝知， 四边形ABCD为平行四边形， 又·＝0，则AB⊥BC， 故平行四边形ABCD为矩形． 答案：C 3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是_____，_____. 解析：以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是|＋|和|－|. ∵＝(3,5)，＝(－1,1)， ∴＋＝(2,6)， －＝(4,4)． ∴|＋|＝＝2， |－|＝＝4. 答案：2　4 4．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　) A．(－1，－2)　　　　 B．(1，－2) C．(－1,2) D．(1,2) 解析：由已知F1＋F2＋F3＋F4＝0， 故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)． 答案：D 5．速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则v1与v2的合速度的大小是(　　) A．2 m/s B．10 m/s C．12 m/s D．2 m/s 解析：|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝ 100＋2×10×12cos 60°＋144＝364. ∴|v|＝2(m/s)． 答案：D 向量在平面几何中的应用 例1 试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和． 思路点拨：―→―→―→ 证明：如图所示，在□OACB中，设＝a，＝b， 则＝a＋b，＝a－b. 由于2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝ |a|2＋2a·b＋|b|2， 2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2， 所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2. 由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|， 所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2. 规律方法　用向量证明平面几何问题的两种基本思路 (1)向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找相应关系； ④把几何问题向量化． (2)向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③用向量的坐标运算找相应关系； ④把几何问题向量化． 　求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系． 设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)．不妨设，的夹角为θ，则 cos θ＝＝＝＝－. 故所求钝角的余弦值为－. 向量在物理中的应用 例2如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，求|F3|. 思路点拨：解答本题的切入点是根据三个力F1，F2，F3处于平衡状态分析出F1＋F2＋F3＝0. 解：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态， ∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)． ∴|F3|＝|F1＋F2| ＝＝ ＝ ＝. 【互动探究】 在本例中，求F2与F3的夹角． 解：∵F1＋F2＋F3＝0，∴－F1＝F2＋F3. ∴(－F1)2＝(F2＋F3)2， 即F＝F＋2F2·F3＋F ... ...