解析几何——2023年高中数学竞赛提升练（含解析）

解析几何———2023年高中数学竞赛提升练 1.在平面直角坐标系中，满足的点所构成的平面图形的面积为( ) A. B. C. D.前三个答案都不对 2.双曲线上格点(横纵坐标均为整数的点)的个数为( ) A.0 B.4 C.8 D.12 3.如图，，是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作的切线，.若直线，的斜率分别为，，则的值为( ) A. B. C. D. 4.在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田中，，R为中点，F为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人(忽略机器人的面积)对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以F为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为S，则( )(若直线l与抛物线E相切于点A，平行于l的直线与E交于B、C两点，记与E围成的图形面积为，的面积为，则) A. B. C. D. 5.椭圆与抛物线有公共点，则a的取值范围是_____. 6.设F，l分别为双曲线的右焦点与右准线，椭圆以F和l为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于的直线，交椭圆于A、B两点，若的中心位于以AB为直径的圆外，则椭圆离心率e的范围为_____. 7.设F为双曲线的右焦点，A，B分别为双曲线E的左右顶点，点P为双曲线E上异于A，B的动点，直线l：使得过F作直线AP的垂线交直线l于点Q时总有B，P，Q三点共线，则的最大值为_____. 8.在平面直角坐标系中，抛物线C：的焦点为F，直线交C于A，B两点，延长AF，BF分别交抛物线于M，N两点.令，，，，求的最小值. 9.如图，已知内接于抛物线，且边，所在直线分别与抛物线相切，F为抛物线M的焦点.求证： (1)边所在直线与抛物线M相切； (2)A，C，B，F四点共圆. 10.已知椭圆E：的右焦点，过F作直线AB交E于A，B两点，E上有两点M，N满足：MF，NF分别为，的角平分线.当直线AB斜率为时，的外接圆面积为. (1)求E的标准方程； (2)设直线，求k和t的代数关系. 答案以及解析 1.答案：C 解析：原不等式等价于或， 如图，题中所求面积是椭圆外部，椭圆内部的面积，为. 故选：C. 2.答案：A 解析：由，则， ，与具有相同的奇偶性， 则为奇数或者能被4整除，这与矛盾， 所以方程无整数解， 故选：A. 3.答案：C 解析：不妨设，(，)， ，，代入的方程得： ， ， 化简得. 代入得. . 化简得.，， 故选C. 4.答案：D 解析：如图1，取的中点T，以所在直线为x轴，的中点O为坐标原点，建立平面直角坐标系. 设抛物线的方程为，，则，所以抛物线的方程为. 则，，所以直线的斜率为4， 所以直线的方程为. 如图2， 把抛物线向右平移个单位得， 设平行于且与相切的直线方程为，其中为切点， 则， 所以，解得，，所以切点坐标为. 则切点到直线：的距离， 设直线与相交于，， 联立方程组得：， 则，，， ， 所以， 则与抛物线围成的图形的面积. 如图3， 把抛物线向左平移个单位得， 设平行于且与相切的直线方程为，其中为切点， 则， 所以，解得，，所以切点坐标为. 则切点到直线：的距离， 设直线与相交于，， 联立方程组得：， 则，，， ， 所以. 则与抛物线围成的图形的面积. 如图4， 直线左侧两条抛物线与围成的区域的面积. 又因为机器人浇水的区域为圆形，方程可设为， 联立得， 令， 易知，所以有零点，又，所以必有两个零点， 由可得，解析或，结合图形可得， 同理可得直线与抛物线的交点的横坐标为， 该交点与C之间的距离为， 综上，机器人浇水的区域必然大于两条抛物线围成的区域，所以，即. 故选：D. 5.答案： 解析：， 联立椭圆与抛物线方程， 则由题意可知：. 如图所示，可知为椭圆向左或右平移个单位， 若要符合题意，还需. 故答案为：. 6.答案： 解析：由双曲线方程可知其焦准距为3， ... ...