练习 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点,P为AA1的中点, 则异面直线PO与A1D所成的角的余弦值是 。 2.在下列四个正方体中,能得出AB⊥CD的是 ( ) 3.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中, E是AD的中点,F是BB1的中点, 则直线EF与平面ABCD所成角的正切值为 . 4.如图,四边形ABCD为菱形,四边形CEFB为正方形, 平面ABCD⊥平面CEFB,∠BCD=60°, 若二面角D-CE-F的大小为α,则tanα= 5.(多选题)如图,四棱锥S-ABCD的底面为矩形,SD⊥底面ABCD, AD=a,DC=b,SD=2,且a+b=2,则下列结论中不正确的是( ) A.P为棱SC上的点,则存在点P,使得SA∥平面BDP B.A到平面SBC的距离有可能等于 C.SB与平面ABCD所成的角的大小有可能为 D.四棱锥的外接球的表面积的最小值是π 6.(多选题)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥BC, BC=CD=,AB=1,E为AB中点,以DE为折痕把△ADE折起, 使点A到达点P的位置,得到四棱锥P-EBCD,且PC=, 则( ) A.平面PED⊥平面EBCD B.PC⊥ED C.二面角P-DC-B的大小为45° D.PC与平面PED所成角的正切值为 参考答案： 1. 提示：要求异面直线所成角，可以先想到定义：“如果a,b是异面直线，过空间中任意一点，分别作与a,b 平行或重合的直线a1,b1,则a1与b1所成角的大小，称为异面直线a与b所成角的大小。” 根据定义，结合题中条件P,O分别是AA1和AC的中点， 连接A1C, ∴PO∥A1C, ∴∠CA1D是异面直线PO与A1D所成的角。 设正方体棱长为1，在三角形CA1D中，CD=1，A1D=，CA1=， 由余弦定理得，cos∠CA1D=. 2.A 提示：对于选项A,如图①,连接BE,则在正方形BDEC中,CD⊥BE, 又AE⊥平面BCED,CD 平面BCED,∴AE⊥CD,∵AE∩BE=E, ∴CD⊥平面ABE,∵AB 平面ABE,∴CD⊥AB. 结论：正方体的体对角线与面对角线是异面直线时，它们互相垂直。 对于选项B,如图②,连接AE,BE,易得CD∥AE,则∠BAE为异面直线 AB,CD所成的角,易知△BAE为等边三角形,∴∠BAE=60°。 结论：正方体相邻的两个面的面对角线相交或异面时所成角总等于60°。 对于选项C,如图③,CD∥BE,则∠ABE为异面直线AB,CD所成的角, 易得∠ABE=45°。 对于选项D,如图④,CD∥BE, 则∠ABE为异面直线AB,CD所成的角,显然∠ABE≠90°, 3. 提示：要求直线EF与平面ABCD所成角的正切值， 应该先想到定义：“如果直线AC是平面α的一条斜线， C是斜足，AB垂直平面α于B,∠ACB称为直线AC和 平面α所成的角。” 根据直线与平面所成角的定义，需要找直线EF在平面ABCD内的射影(即找过点F与平面ABCD垂直的直线)， 在正方体中，BB1⊥平面ABCD, ∴FB⊥平面ABCD于B，连结EB, ∴∠FEB即为直线EF与平面ABCD所成的角. 在Rt△FBE中,可求BF=1,BE=,∴tan∠FEB=. 4. 提示： 要求二面角D-CE-F的正切值，应该先想到二面角 平面角的定义：“在二面角α-l-β的棱上任取一点O,以O为垂足， 在两个半平面α,β内作垂直于棱的射线OA,OB,∠AOB称为二面角α-l-β的平面角。” 本题中的半平面是EC-D和EC-F,(EC-F就是EC-B)棱是EC, 根据“平面ABCD⊥平面CEFB”已知条件应该想到面面垂直的性质定理：“如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。” 本题平面ABCD和平面CEFB的交线是CB,而刚好CEFB是正方形，即平面CEFB内的直线EC垂直于CB，∴ EC⊥平面CEFB. 分别在两个半平面内的射线DC,BC都与EC垂直。 ∠DCB二面角D-CE-F的平面角。 由题意可知∠DCB=60°,即α=60°. 5.CD 提示：学到现在，对于四棱锥S-ABCD的底面为矩形,SD⊥底面ABCD,应该是比较熟悉的。它的四个侧面都是直角三角形(比如， ∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥AB，又∵AD⊥AB，∴AD⊥平面SAD, ∴SA⊥AB.)，SDB也是直角三角形。同时这个四棱锥是变化的 (∵AD,CD的长度是变化的)，但高SD是定长2. 对于选项A,记BD和AC的交点为O,当点P为SC的中点时,连接OP, ... ...
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