中小学教育资源及组卷应用平台 专题九 指数与指数函数 知识归纳 一、指数及指数运算 （1）根式的定义： 一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，，记为，称为根指数，称为根底数． （2）根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数． 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数． （3）指数的概念：指数是幂运算中的一个参数，为底数，为指数，指数位于底数的右上角，幂运算表示指数个底数相乘． （4）有理数指数幂的分类 ①正整数指数幂；②零指数幂； ③负整数指数幂，；④的正分数指数幂等于，的负分数指数幂没有意义． （5）有理数指数幂的性质 ①，，；②，，； ③，，；④，，． 二、指数函数 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即时，，图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调减函数 在定义域上是单调增函数 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥既不是奇函数，也不是偶函数 方法技巧与总结 1、指数函数图象的关键点，， 2、如图所示是指数函数（1），（2），（3），（4） 的图象，则，即在第一象限内，指数函数（且）的图象越高，底数越大． 3、指数式大小比较方法 ①单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较． ②中间量法：当指数式的底数和指数各不相同时，需要借助中间量“0”和“1”作比较． ③分类讨论法：指数式的底数不定时，需要分类讨论底数的情况，在利用指数函数的单调性进行比较． ④比较法：有作差比较与作商比较两种 典例分析 题型一、指数运算及指数方程、指数不等式 例1-1．_____. 例1-2．已知，则=_____ 例1-3．已知和是方程的两根，则_____. 例1-4．已知函数，则不等式的解集是_____． 例1-5．不等式的解集为_____． 例1-6．不等式的解集为_____. 例1-7．甲 乙两人解关于x的方程，甲写错了常数b，得到的根为或x=，乙写错了常数c，得到的根为或，则原方程的根是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 例1-8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则关于的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 例1-9．化简： （1） （2）(a>0，b>0). （3）. 题型二、指数函数的图像及性质 例2-1．设方程的解为，，方程的解为，，则_____． 例2-2．函数，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 例2-3．函数恰有一个零点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 例2-4．函数，下列关于函数的说法错误的是（ ） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的值域为 C．不等式的解集是 D．是增函数 例2-5．已知为定义在R上的奇函数，，且在上单调递增，在上单调递减，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 例2-6．函数图象过定点，点在直线上，则最小值为_____. 例2-7．求函数的单调区间_____. 例2-8．已知函数（为常数，）是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 题型三、指数函数中的恒成立问题 例3-1．设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 例3-2．若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是_____. 例3-3．若关于的不等式（，且）对于任意的恒成立，则的取值范围为_____. 例3-4．已知幂函数在上单调递减，函数，对任意，总存在使得，则的取值范围为_____. 例3-5．已知函数． (1)利用函数单调性的定义证明是单调递增函数； (2)若对任意，恒成立，求实数的取值范围． 例3-6．已知函数为实常数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值. 例3-7．已知函数． （1）若函数在，上有最大值，求实数的值； （2）若方程在，上有解，求实数的取值范围． 题型四、指数函数的综合问题 例4-1．已知定义在R上的函数满足：① ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
