中小学教育资源及组卷应用平台 第16讲 对数函数及其性质 1．理解对数函数的概念，会求简单对数函数的定义域； 2．初步掌握对数函数的图象与性质； 3．能够利用对数函数的单调性比较大小、能够解简单的对数型不等式； 4．了解反函数的概念及它们的图象特点； 一、对数函数的概念 1、定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 二、对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 【小结】当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； 当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴. 三、判断一个函数是否为对数函数的方法 判断一个函数是对数函数必须是形如的形式，即必须满足以下条件 （1）系数为1； （2）底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量 四、利用对数函数的单调性比较大小常用方法 1、同底数的两个对数值的大小比较，常利用对数函数的单调性进行比较； 2、底数不同且真数也不相同的两个对数值的大小比较，常引用中间变量法比较，通常取中间变量为-1,0,1等； 3、底数不同而真数相同的两个对数值的大小比较，常利用数形结合思想来比较，也可利用换底公式化为同底，再进行比较。 考点一：对数函数概念及应用 例1．下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数(且)为对数函数， 所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.故选：D. 【变式训练】（多选）下列函数为对数函数的是（ ） A．（，且） B． C． D． 【答案】AC 【解析】形如（，且）的函数为对数函数， 对于A，由，且，可知，且，故A符合题意； 对于B，不符合题意； 对于C，符合题意； 对于D，不符合题意；故选：AC. 考点二：求对数型函数的定义域 例2．函数的定义域为_____. 【答案】 【解析】函数有意义， 则，得， 故答案为： 【变式训练】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知，即，解得或， 故函数的定义域为.故选：D. 考点三：对数函数的图象判断 例3．如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（ ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（4） 【答案】B 【解析】因为， （3）是，（4）是，又与关于轴对称， （1）是．故选：B． 【变式训练】如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（ ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【解析】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势， 又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴， 故，，，对应的a值依次是，，，．故选：B． 考点四：对数函数过定点问题 例4．若函数，且的图像恒过定点，则点的坐标为_____． 【答案】 【解析】令，得. 又， 所以的图像经过定点. 故答案为： 【变式训练】函数的图象过定点，则点的坐标是_____. 【答案】 【解析】由对数函数图象性质可知，令可得， 此时， 所以函数的图象过定点；即点的坐标是 故答案为： 考点五：对数型函数的单调性判断 例5．函数的单调递增区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，解得：，故函数的定义域是， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域内是单调递减函数， 根据复合函数单调性之间的关系可知， 函数的单调递增区间是.故选：D 【变式训练】已知函数，则的单调增区间为_____. 【答案】 【解析 ... ...
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