第三章 圆 3.8 圆内接正多边形 一、教学目标 1．了解圆内接正多边形的概念 2．会用尺规作圆的内接正方形和正六边形. 二、教学重点及难点 重点：了解有关概念，会进行计算． 难点：探索正多边形的中心角、边心距、边长之间的关系． 三、教学用具 多媒体课件，圆规。 四、相关资源 多张《生活中的正多边形》图片，引入视频 五、教学过程 【情境导入】 观看下列美丽的图案： 这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的、利用正多边形得到的物体．你能从这些图案中找出正多边形来吗？ 设计意图：结合美丽的图片，欣赏生活中正多边形形状的物体，让学生感受到数学来源于生活，并从中感受数学美． 【探究新知】 如下图，我们把顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形．这个圆叫做该正多边形的外接圆． 把一个圆n等分（n≥3），依次连接各分点，我们就可以作出一个圆内接正多边形． 如下图，五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，圆心O叫做这个正五边形的中心；OA是这个正五边形的半径；∠AOB是这个正五边形的中心角；OM⊥BC，垂足为M，OM是这个正五边形的边心距． 注：还可以借助其他正多边形对这些概念举一反三。实际上，正多边形的中心指的是其外接圆（或内切圆）的圆心，半径指的是其外接圆的半径，边心距是指的是其内切圆的半径，中心角指的是其每一边所对的外接圆的圆心角． 做一做 利用尺规作一个已知圆的内接正六边形． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师鼓励学生探索用多种方法作出圆的内接正六边形． 答：方法1，因为正六边形的中心角为60°，因此它的边长就是其外接圆的半径R．所以，在半径为R的圆上，依次截取等于R的弦，就可以六等分圆，进而作出圆内接正六边形． 方法2，为了减少累积误差，通常像下图这样，作⊙O的任意一条直径FC，分别以F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E，A和D，B，则A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，便得到正六边形ABCDEF． 设计意图：通过画正多边形，培养学生的画图能力．利用尺规作圆内接正六边形的方法不止一种，可鼓励学生探索多种方法． 想一想 你能利用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？你是怎么做的？与同伴进行交流． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并尝试完成． 答：在⊙O中，用直尺和圆规作两条互相垂直的直径，在圆周上得到四个点，依次连接这四个点，就得到了圆内接正四边形． 议一议 如何用直尺和圆规作一个已知圆的内接正五边形呢？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成． 答：（1）作⊙C；（2）作直径AB； （3）过点C作AB的垂线交⊙C于点P； （4）取BC的中点D； （5）以点D为圆心，以DP为半径作弧交AB于点E； （6）以点P为圆心，以PE为半径作弧交⊙C于点F； （7）在⊙C上依次截取等于PF的弦，就可以作出圆的内接正五边形． 设计意图：加深学生对正多边形与圆相关知识的理解，进一步熟悉如何画正多边． 【典例精析】 例 如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师分析、引导，师生共同完成解题过程． 解：如图，连接OD． ∵六边形ABCDEF为正六边形，∴∠COD==60°．∴△COD为等边三角形． ∴CD=OC=4．在Rt△COG中，OC=4，CG=BC=×4=2， ∴OG=． ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为． 设计意图：教师通过引导学生将半径、中心角、边心距等数量，在一个直角三角形中联系起来，将多边形化归为三角形，体现了化归思想．正n边形的有关计算可转化为解直角三角形，这个直角三角形的构成是：斜边为半径，一直角边为边心距，另一直角边 ... ...
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