湖北省武汉市2012-2014年中考数学试题分类解析汇编专题6：压轴题

武汉市2012-2014年中考数学试题分类解析汇编 专题6：压轴题 填空题 1．（3分）（2013?武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是　　． 考点： 正方形的性质． 专题： 压轴题． 分析： 根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1=∠2，利用“边角边”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2=∠3，从而得到∠1=∠3，然后求出∠AHB=90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH=AB=1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小． 解答： 解：在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG， 在△ABE和△DCF中，， ∴△ABE≌△DCF（SAS）， ∴∠1=∠2， 在△ADG和△CDG中，， ∴△ADG≌△CDG（SAS）， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°， ∴∠1+∠BAH=90°， ∴∠AHB=180°﹣90°=90°， 取AB的中点O，连接OH、OD， 则OH=AO=AB=1， 在Rt△AOD中，OD===， 根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD， ∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小， 最小值=OD﹣OH=﹣1． 故答案为：﹣1． 点评： 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的三边关系，确定出DH最小时点H的位置是解题关键，也是本题的难点． 三、解答题 1．（12分）（2014?武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=x2交于A，B两点． （1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标； （2）当k=﹣时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5； （3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离． 考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根与系数的关系；勾股定理；相似三角形的判定与性质 专题： 压轴题． 分析： （1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可． （2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标． （3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 解答： 解：（1）∵当x=﹣2时，y=（﹣2）k+2k+4=4． ∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（﹣2，4）． ∴点C的坐标为（﹣2，4）． （2）∵k=﹣， ∴直线的解析式为y=﹣x+3． 联立， 解得：或． ∴点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（2，2）． 过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q， 过点A作AM⊥PQ，垂足为M， 过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示． 设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a． ∴yP=a2，yQ=﹣a+3． ∵点P在直线AB下方， ∴PQ=yQ﹣yP =﹣a+3﹣a2 ∵AM+NB=a﹣（﹣3）+2﹣a=5． ∴S△APB=S△APQ+S△BPQ =PQ?AM+PQ?BN =PQ?（AM+BN） =（﹣a+3﹣a2）?5 =5． 整理得：a2+a﹣2=0． 解得：a1=﹣2，a2=1． 当a=﹣2时，yP=×（﹣2）2=2． 此时点P的坐标为（﹣2，2）． 当a=1时，yP=×12=． 此时点P的坐标为（1，）． ∴符合要求的点P的坐标为（﹣2，2）或（1，）． （3）过点D作x轴的平行线EF， 作AE⊥EF，垂足为E， 作BF⊥EF，垂足为F，如图2． ∵AE⊥EF，BF⊥EF， ∴∠AED=∠BFD=90°． ∵∠ADB=90°， ∴∠ADE=90 ... ...